Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 1288

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
witkor1 postów: 7	2013-04-25 15:43:05 Zbadać zbieżność całek: 1) $\int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^{3}+8}dx$ 2)$\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+x+1}dx$

tumor postów: 8070	2013-04-25 18:41:29 Jakie zbadać? Tylko powiedzieć czy skończona czy nie? Pierwsza tak (porównać z $\frac{1}{x^2}$), a druga nie (porównać z $\frac{1}{x}$ albo z $\frac{1}{2}$). Czy może chcesz dokładniejszego przecałkowania (rozkład na ułamki proste)? A może pokaż, co robisz i tylko sprawdzimy, czy dobrze?

witkor1 postów: 7	2013-04-25 21:32:03 Chodzi o dokładniejsze pocałkowanie.

tumor postów: 8070	2013-04-25 22:09:01 b)Chyba nie budzi wątpliwości, że od pewnego x począwszy mamy $\frac{x^2}{x^2+x+1}>\frac{1}{2}$ A skoro nie budzi, to druga całka musi być $+\infty$ (bo zawiera nieskończony prostokąt, nie?) a) Pierwszą możemy przecałkować dokładnie, skoro chcesz. $\frac{x}{x^3+8}=\frac{x}{(x+2)(x^2+2x+4)}=\frac{\frac{1}{2}x+1}{x^2+2x+4}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+2}$ Całka nieoznaczona $\int \frac{x}{x^3+8}dx= \frac{1}{4}\int \frac{(2x+2)}{x^2+2x+4} dx+\int \frac{\frac{1}{2}}{x^2+2x+4} dx-\frac{1}{2} \int\frac{1}{x+2}dx$ Trzy całki oddzielne. Skrajne mają w liczniku pochodną z mianownika, więc nie będę mówił. :) Środkową trzeba urobić do arctg $\frac{1}{2} \int \frac{1}{(x^2+2x+1)+3}dx=\frac{1}{2} \int \frac{1}{3}\frac{1}{\frac{(x+1)^2}{(\sqrt{3})^2}+1}dx$ i podstawiamy $\frac{x+1}{\sqrt{3}}=t$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj