Analiza matematyczna, zadanie nr 1302

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aaaaaaaaa postów: 15	2013-05-05 20:45:07 Jak obliczyć poniższą granicę przy x dążącym do zera? ${tgx - sinx} \over {sin^3x}$ Wiem że granica w zadaniu wychodzi ${1} \over {2}$ ale mi granica wychodzi 0. Robię to w ten sposób: lim $ {tgx - sinx} \over {sin^3x}$ = lim $ {{{tgx} \over {x}}x - {{sinx} \over {x}}x} \over {sin^3x}$ = lim ${{{tgx} \over {x}}x - {{sinx} \over {x}}x} \over {{sin^3x} \over {sin^2}}sin^2 $ = lim$ {{{tgx} \over {x}}x - {{sinx} \over {x}}x} \over {{sinx} \over {x}} x {sin^2} $ $ {x(1 - 1)} \over {{x} {sin^2}}$=0 Gdzie robię błędy?

tumor postów: 8070	2013-05-05 21:29:00 Wszędzie. Co to niby jest $sin^2$? Nie brakło argumentu? Poza tym na końcu wcale NIE wychodzi 0. Z niektórymi wyrażeniami przechodzisz do granicy, a z innymi nie. Ktoś tak uczył? Mamy $\frac{tgx-sinx}{sin^3x}=\frac{sinx(\frac{1}{cosx}-1)}{sin^3x}=\frac{1-cosx}{cosxsin^2x}=\frac{1-cos^2x}{cosxsin^2x(1+cosx)}=\frac{sin^2x}{cosxsin^2x(1+cosx)}=\frac{1}{cosx(1+cosx)}$ Po czym już nie powinno być wątpliwości, jaka jest granica w 0.

aaaaaaaaa postów: 15	2013-05-08 15:09:28 Tak, przy sinusie nie wstawiłem x. Po za tym nie ten wynik. Granicą tego zadania ma być $ \frac{1}{2}$ i wszędzie pownno być to: $\lim_{x \to 0}$ U mnie wyszło 0 przez coś dążącego do 0. 0/0 to granica nieoznaczna i trzeba coś z tym dalej robić, ale to zadanie jest i tak źle rozwiązane. Nie wstawiałem tego limesa tak jak powinno bo kiedy pisałem tego posta większość z dostępnych przycisków latexa nie było. Zamiast nich pokazywał się jakiś "error parsing MathML". Wiadomość była modyfikowana 2013-05-08 15:16:57 przez aaaaaaaaa

tumor postów: 8070	2013-05-08 16:40:56 Nie mówię, że nie wstawiłeś limesa. Mówię, że wykonujesz MÓZGOWO błędną operację, nie zaś błędną edycyjnie. ;) Przekształcasz (tak na oko patrząc) poprawnie, choć nic w ten sposób nie upraszczasz. Na początku masz symbol $[\frac{0-0}{0}]$, natomiast po czterech liniach przekształceń dochodzisz do $[\frac{0}{0}]$ co dało się osiągnąć po prostu wyłączając sinx przed nawias w liczniku. :) Wszystkie te operacje są zbędne. Natomiast kończysz błędem poważnym, to znaczy przejściem do granicy z fragmentami wyrażenia, bo zamieniasz $\frac{tgx}{x}$ i $ \frac{sinx}{x}$ na $1$, podczas gdy inne wyrażenia zostawiasz niezmienione. Stosując taki zabieg można pokazać, że każda liczba rzeczywista jest granicą każdej funkcji w każdym punkcie, co się nie powinno zdarzać. :) NIE WYSZŁO ci "0 przez coś dążącego do 0", ale "coś dążącego do 0 przez coś dążącego do 0". Różnica jest. W pierwszym przypadku granicą byłoby 0. W drugim przypadku granicą może być COKOLWIEK, a może też granicy wcale nie być. Z uwagi na tę nieoznaczoność nazywamy to symbolem nieoznaczonym. :) Czuć tę różnicę w głowie to coś ważniejszego niż ładnie pisać. Pominięcie argumentu w sinusie też nie jest błędem edycyjnym. To znak, że zapominasz traktować sinus jak funkcję wymagającą argumentu, a traktujesz jak obrazek, który zmieniasz jak inny obrazek. Tak robią kalkulatory. Gdyby ludzkości wystarczały kalkulatory, nie wymyślilibyśmy mózgów.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj