Algebra, zadanie nr 1325

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
attente postów: 19	2013-05-15 19:27:42 1) Zortogonalizować metodą Grama-Schmidta podane wektory w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych: a) (2,1,3), (1,6,2) w przestrzeni $E^3$ b) (4,3,2,1), (4,3,2,0), (4,3,0,0) w przestrzeni $E^4$ 2) Sprawdzić, ze podane zbiory wektorów są bazami ortogonalnymi lub ortonormalnymi w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych i wyznaczyć współrzędne wskazanych wektorów w tych bazach: a) $\vec{v1}$ = 91,3,-2), $\vec{v2}$ = (-1,1,1) , $\vec{v3}$ = (5,1,4) , $\vec{u}$ = (1,0,1) $\in$ $E^3$ b) $\vec{v1}$ = (1,1,1,1), $\vec{v2}$ = (3,-1,-1,-1) , $\vec{v3}$ = (0,2,-1,-1), $\vec{v4}$ = (0.0,1,-1) , $\vec{u}$ = (1,2,-3,2) $\in$$E^4$

tumor postów: 8070	2014-05-31 17:18:04 Jeśli $\alpha$ jest kątem między wektorami $a$ i $b$, to łatwo zauważyć, że $\|a\|cos\alpha$ jest długością rzutu wektora $a$ na wektor $b$. Zatem $a-\frac{b}{\|b\|}\|a\|cos\alpha$ jest składową wektora $a$ prostopadłą do $b$. Na tym pomyśle opiera się metoda Grama-Schmidta, możemy rozszerzyć ułamek mnożąc licznik i mianownik przez $\|b\|$, dostaniemy $a-\frac{b}{\|b\|^2}(a\circ b)$ Podstawiając możemy wziąć pierwszy wektor bez zmian, $(2,1,3)$, natomiast z drugiego zostawić składową prostopadłą $(1,6,2)(1-\frac{2+6+6}{1+36+4})=(1,6,2)\frac{27}{41}$

tumor postów: 8070	2014-05-31 17:24:18 $ (4,3,0,0)$ zostawiamy bez zmian. Od wektora $(4,3,2,0)$ odejmiemy składową równoległą do wektora wyżej, $(4,3,2,0)-(4,3,0,0)\frac{16+9}{16+9}=(0,0,2,0)$ Od wektora $(4,3,2,1)$ odejmiemy składowe równoległe do wcześniejszych wektorów. $(4,3,2,1)-(4,3,0,0)\frac{16+9}{16+9}-(0,0,2,0)*\frac{4}{4}=(0,0,0,1)$

tumor postów: 8070	2014-05-31 17:32:43 2) Ortogonalność sprawdzamy mnożąc skalarnie parami wektory, skoro mają być prostopadłe, to wymagamy wyników $0$. Dla przykładu $(1,3,-2)\circ (-1,1,1)=-1+3+(-2)=0$ Analogicznie dwa pozostałe mnożenia dają $0$. Ortonormalności nie dowiedziemy, bo w a) i b) wektory unormowane nie są. Unormowanie polegałoby na podzieleniu każdego wektora przez długość (czyli pomnożeniu go przez odwrotność jego długości), co w efekcie da wektor o tym samym kierunku i zwrocie, ale długości 1. By wyznaczyć współrzędne wektora w bazie rozwiązujemy układ równań $x \left[\begin{matrix} 1 \\ 3\\-2 \end{matrix}\right] +y \left[\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right] +z \left[\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\1 \end{matrix}\right]$ Wektory ortogonalne są z konieczności niezależne, rozwiązanie istnieje i jest jedyne. Układ można rozwiązać metodą dowolną.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj