Teoria liczb, zadanie nr 1351
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
polkiuyt postów: 34 | 2013-05-26 22:12:42 Wykaż, że $m^{5}+3m^{4}n-5m^{3}n^{2}-15m^{2}n^{3}+4mn^{4}+12n^{5} \neq 33$ dla dowolnych $m,n \in N$ |
tumor postów: 8070 | 2013-05-27 08:58:46 Zatrudniamy licealistę, który w standardowy sposób pogrupuje nam wielomian: $=m^4(m+3n)-5m^2n^2(m+3n)+4n^4(m+3n)= (m+3n)(m^4-m^2n^2-4m^2n^2+4n^4)= (m+3n)(m^2-n^2)(m^2-4n^2)= (m-2n)(m-n)(m+n)(m+2n)(m+3n)$ sprawdzimy, czy jest możliwe $(m-2n)(m-n)(m+n)(m+2n)(m+3n)=33$ zauważmy, że te czynniki są wyrazami $a_1, a_2, a_4, a_5, a_6$ ciągu arytmetycznego o różnicy $n$. Jeśli $n=0$, to $m^5=33$, co nie ma rozwiązań całkowitych. Jeśli $n\neq 0$, to liczby te są parami różne, całkowite i należy je wybrać spośród dzielników liczby $33$: $-33,-11,-3,-1,1,3,11,33$ Przy czym dowolnie wybrane $5$ liczb z tego zbioru ma iloczyn różny (bo na moduł większy) niż $33$. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj