logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria liczb, zadanie nr 1351

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

polkiuyt
postów: 34
2013-05-26 22:12:42

Wykaż, że $m^{5}+3m^{4}n-5m^{3}n^{2}-15m^{2}n^{3}+4mn^{4}+12n^{5} \neq 33$ dla dowolnych $m,n \in N$


tumor
postów: 8070
2013-05-27 08:58:46

Zatrudniamy licealistę, który w standardowy sposób pogrupuje nam wielomian:

$=m^4(m+3n)-5m^2n^2(m+3n)+4n^4(m+3n)=
(m+3n)(m^4-m^2n^2-4m^2n^2+4n^4)=
(m+3n)(m^2-n^2)(m^2-4n^2)=
(m-2n)(m-n)(m+n)(m+2n)(m+3n)$

sprawdzimy, czy jest możliwe
$(m-2n)(m-n)(m+n)(m+2n)(m+3n)=33$

zauważmy, że te czynniki są wyrazami $a_1, a_2, a_4, a_5, a_6$ ciągu arytmetycznego o różnicy $n$.
Jeśli $n=0$, to $m^5=33$, co nie ma rozwiązań całkowitych.
Jeśli $n\neq 0$, to liczby te są parami różne, całkowite i należy je wybrać spośród dzielników liczby $33$:
$-33,-11,-3,-1,1,3,11,33$
Przy czym dowolnie wybrane $5$ liczb z tego zbioru ma iloczyn różny (bo na moduł większy) niż $33$.




strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj