Teoria liczb, zadanie nr 1354

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
polkiuyt postów: 34	2013-05-26 22:50:31 Niech p$\in$P-{2} i niech 1+(1/2)+...+(1/(p-1))=L/M, gdzie (L,M)=1. Udowodnij, że p\|L.

tumor postów: 8070	2014-05-31 11:07:38 Pomnóżmy obie strony przez $(p-1)!$ Dostajemy $\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+\frac{(p-1)!}{3}+...+\frac{(p-1)!}{p-1}=\frac{(p-1)!L}{M}$ Liczba po lewej jest oczywiście całkowita, po lewej mamy parzystą ilość składników (bo $p$ nieparzyste). Zauważmy, że dwa różne składniki po lewej stronie mają na pewno różne reszty z dzielenia przez $p$ (nie trzeba dowodzić, że są przez $p$ niepodzielne, prawda?). Gdyby bowiem $\frac{(p-1)!}{a}$ i $\frac{(p-1)!}{b}$ miały tę samą resztę z dzielenia przez $p$, to liczba $\frac{(p-1)!}{a}-\frac{(p-1)!}{b}=\frac{(b-a)(p-1)!}{ab}$ byłaby podzielna przez $p$, wobec czego liczba ta musi być równa $0$, czyli $b=a$. Skoro liczby te mają różne reszty z dzielenia przez $p$, jest ich $p-1$, a różnych reszt z dzielenia przez $p$ też jest $p-1$, to mamy tu wszystkie możliwe reszty. Zauważmy, że reszty te możemy dodawać parami sumującymi się do $p$, reszta $1$ z resztą $p-1$, reszta $2$ z resztą $p-2$, etc, ilość reszt jest parzysta więc się uda. Ostatecznie dowiedliśmy, że liczba po lewej jest podzielna przez $p$. Po prawej liczba $(p-1)!$ jest przez $p$ niepodzielna, stąd $p\|L$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj