Algebra, zadanie nr 1357

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
roksyk postów: 10	2013-05-28 18:00:14 Korzystając z całek krzywoliniowych wyznacz współrzędne środka ciężkości kawałka jednorodnej paraboli o równaniu y=4x^{2} czyli o równaniach parametrycznych x=t, y=4t^{2} od punktu A(0,0) do punktu B(2,16).

roksyk postów: 10	2013-05-28 18:04:41 Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego oraz rozstrzygnąć zbieżność szeregu na końcach promienia: \sum_{n=1}^{\infty}(arc tg2n)^{n}*x^{n}\5^{n}

tumor postów: 8070	2013-05-28 19:06:49 $ \sum_{n=1}^{\infty}(arc tg2n)^{n}*x^{n}\5^{n} $ Jasny gwint. Naprawdę was wszystkich uczą, że dzielenie to kreska wszystko jedno w którą stronę? Załóżmy, że w przykładzie mamy $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{arctg2n}{5})^nx^n$ $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{arctg2n}{5})^n}=\frac{\frac{\pi}{2}}{5}=\frac{\pi}{10}$ Zatem promień zbieżności to $\frac{10}{\pi}$ A jako że $arctg2n<\frac{\pi}{2}$, na końcach przedziału zbieżności szereg jest rozbieżny (nie spełnia warunku koniecznego)

roksyk postów: 10	2013-05-28 20:53:47 Dziękuję bardzo.

zorro postów: 106	2013-05-30 06:44:02 Co do środka ciężkosci, zakładam, że gęstość liniowa krzywej jest stała i wynosi "g" (w każdym punkcie g(x,y)=g). Równanie krzywej K: $x=t \Rightarrow dx(t)=dt$ $y=4t^2 \Rightarrow dy(t)=8tdt$ Dla punktu A(0,0) $t=0$ Dla punktu B(2,16) $t=2$ Masa krzywej: $m_{k}=\int_{K}^{}g(x,y)ds=\int_{0}^{2}g\sqrt{1+dy^2(t)}dt=g\int_{0}^{2}\sqrt{1+64t^2}dt$ po podstawieniu $m=8t$ $\frac{1}{8}dm=dt$ i po zmianie granic całkowania szukana całka przyjmie postać: $I=\frac{1}{8}g\int_{0}^{16}\sqrt{1+m^2}dm$ Jeśli zerkniesz na zadanie nr 1318 przekonasz się krok po kroku jak policzyć taką całkę, tu zaś podam tylko wynik dla całki nieoznaczonej (z pominięciem stałej całkowania): $\int_{}^{}\sqrt{1+m^2}dm=\frac{1}{2}(m\sqrt{1+m^2}-ln\|m+\sqrt{1+m^2}\|)$ Zatem $I=\frac{1}{8}g\frac{1}{2}(16\sqrt{257}-ln(16+\sqrt{257}))=g\sqrt{257}-\frac{gln(16+\sqrt{257})}{16}$ Wiadomość była modyfikowana 2013-05-30 07:06:08 przez zorro

zorro postów: 106	2013-05-30 07:04:26 W przybliżeniu masa krzywej wynosi $m_{k}=15.81g$ Aby obliczyć środek ciężkości trzeba jeszcze znaleść momenty bezwładności: $M_{y}=\int_{K}^{}gxds=g\int_{0}^{2}t\sqrt{1+64t^2}dt$ tu podstawiamy: $m=1+64t^2$ $dm=128tdt$ $t=0\iff m=1$ $t=2\iff m=257$ wówczas $M_{y}=g\frac{1}{128}\int_{1}^{257}\sqrt{m}dm=\frac{\sqrt{257}^3-1}{192}g$ w przybliżeniu $M_{y}=21.45g$ Wiadomość była modyfikowana 2013-05-30 07:26:40 przez zorro

zorro postów: 106	2013-05-30 07:25:02 Teraz względem drugiej osi: $M_{x}=\int_{K}^{0}gyds=g\int_{0}^{2}4t^2\sqrt{1+64t^2}dt$$M_{x}=4g\int_{0}^{2}t^2\sqrt{1+64t^2}dt$ Przez podstawienie $m=8t$ całka sprowadza się do postaci: $M_{x}=\frac{1}{128}g\int_{0}^{16}m^2\sqrt{1+m^2}dm$ Wiadomość była modyfikowana 2013-05-30 08:05:44 przez zorro

zorro postów: 106	2013-05-30 09:13:06 Obliczamy najpierw całkę: $I_{p}=\int_{0}^{16}mm\sqrt{1+m^2}dm$ stosujemy podstawienie Eulera: $k=m+\sqrt{1+m^2}$ skąd: $k=1 \iff m=0$ $k=16+\sqrt{257}\approx 32.03 \approx 32 \iff m=16$ $m^2=\frac{(k^2-1)^2}{4k^2}$ $\sqrt{1+m^2}=\frac{k^2+1}{2k}$ $dm=\frac{k^2+1}{2k^2}$ I całka sprowadza się do postaci: $I_{p}=\frac{1}{16}\int_{1}^{32}\frac{k^8-2k^4+1}{k^5}dk$ $I_{p}=\frac{1}{16}*\|\frac{1}{4}k^4-2lnk-\frac{1}{4k^4}\|_{k:32,1}\approx 16383$ Ostatecznie $M_{x}\approx 128g$ I mamy środek masy: $x_{c}=\frac{M_{y}}{m_{k}}=\frac{21.45}{15.81}=1.38$ $y_{c}=\frac{M_{x}}{m_{k}}=\frac{128}{15.81}=8.1$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj