Logika, zadanie nr 1366

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jehns postów: 10	2013-05-31 17:14:24 Udowodnić, że zbiór ekstremów lokalnych funkcji ciągłej f : R$\rightarrow$R jest co najwyżej przeliczalny

jehns postów: 10	2013-06-02 10:50:12 Ponawiam prośbę o rozwiązanie zadania

tumor postów: 8070	2013-06-02 22:37:14 Nie bądź maruda. Jak jest czas, to się robi. A wiesz, ja na studiach nie zrzynałem zadań z netu, bo bym się wstydził potem dać indeks. Pokażemy może, że zbiór maksimów jest co najwyżej przeliczalny, dla minimów całe rozumowanie jest analogiczne. Maksimum lokalne w $x_0$ polega na tym, że dla pewnego $n\in N$ dla każdego y w sąsiedztwie $S(x_0,\frac{1}{n})$ mamy $f(y)<f(x_0)$. Rozważmy zbiory $A_n=\{x: \forall_{y\in S(x,\frac{1}{n})}(f(y)<f(x)) \}$ Dla ustalonego n zbiór $A_n$ jest najwyżej przeliczalny, bowiem każdy punkt prostej R należy do co najwyżej 2 kul $K(x_0,\frac{1}{n})$, dla $x_0\in A_n$. (Tu może trzeba się chwilę zastanowić. Środek jednej kuli nigdy nie należy do innej kuli tej postaci, natomiast może się zdarzyć, że jakiś punkt między środkami należy jednocześnie do dwóch kul. Promienie są ustalone, więc tylko przeliczalna ilość tak rozmieszczonych kul "zmieści się" na prostej) Każde maksimum należy do co najmniej jednego zbioru $A_n$. Natomiast $\bigcup_{n\in N_+}A_n$ jest przeliczalną sumą zbiorów przeliczalnych, jest więc zbiorem przeliczalnym.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj