Topologia, zadanie nr 1369

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
celinka postów: 4	2013-06-01 15:14:10 Czy obwód kwadratu jest podprzestrzenią zwartą płaszczyzny? Czy jest homeomorficzny z okręgiem? Czy każde dwie podprzestrzenie płaszczyzny, z których każda jest sumą dwóch przecina- jących się w jednym punkcie odcinków otwartych, są homeomorficzne?

tumor postów: 8070	2014-05-31 10:50:54 Obwód kwadratu jest ograniczony. Jest domknięty, bo jego dopełnienie jest otwarte (biorąc punkt z dopełnienia znajdziemy całe jego otoczenie rozłączne z brzegiem kwadratu). Zatem tak, jest to podprzestrzeń zwarta. Opiszmy okrąg na kwadracie albo wpiszmy w kwadrat, obojętne. Półprosta wychodząca ze środka okręgu ma jeden punkt wspólny z okręgiem i jeden z kwadratem. Takie przyporządkowanie punktów okręgu i kwadratu jest homeomorfizmem, wystarczy zauważyć, że obraz i przeciwobraz łuku (z końcami) jest łamaną (z końcami), czyli przeciwobraz i obraz zbioru bazowego są otwarte, czyli obraz i przeciwobraz zbioru otwartego są otwarte, a skoro funkcja jest bijekcją, to spełniając te warunki jest homeomorfizmem. Na ostatnie pytanie także odpowiedź jest twierdząca. Homeomorfizm intuicyjnie oczywisty, przyporządkowuje punkt przecięcia punktowi przecięcia, a "ramionom" jednej figury "ramiona" drugiej. Odcinki otwarte są homeomorficzne, czyli łatwo o bijekcję ciągłą o ciągłej odwrotności. Pozostaje pokazać, że obraz i przeciwobraz otwartego otoczenia punktu przecięcia odcinków też są zbiorami otwartymi, co jednak nie powinno nastręczać większych trudności.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj