Topologia, zadanie nr 1370

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
celinka postów: 4	2013-06-01 15:14:45 Dane są na płaszczyźnie euklidesowej dwie proste przecinające się i półpłaszczyzna do- mknięta, nie zawierająca ich punktu przecięcia. Udowodnić, że dla pewnego punktu pół- płaszczyzny suma odległości od tych prostych jest minimalna.

tumor postów: 8070	2014-05-31 10:40:43 Najwyżej jedna z prostych jest rozłączna z półpłaszczyzną, być może obie proste nie są z nią rozłączne. Jeśli jedna z prostych jest równoległa do brzegu półpłaszczyzny, to punkt przecięcia drugiej prostej z brzegiem półpłaszczyzny ma tę minimalną sumę odległości, co łatwo pokazać. Tu mamy wyznaczenie efektywne. No ale tak naprawdę to zadanie na użycie twierdzenia, pewnie o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym, to walnijmy jakieś niekonstruktywne uzasadnienie topologiczne. Jeśli obie proste są nierównoległe do brzegu półpłaszczyzny, to rozumujemy tak: Punkt przecięcia prostych jest w odległości r od półpłaszczyzny. Można znaleźć domknięte otoczenie każdej z prostych, czyli zbiór punktów oddalonych od tej prostej o, powiedzmy, 2r lub mniej. Proste nie są równoległe, są przecinające się, zatem część wspólna otoczeń będzie niepusta, będzie ograniczona, będzie mieć też niepusty przekrój z półpłaszczyzną. Nazwijmy ten przekrój A. Jako zbiór domknięty i ograniczony zbiór ten jest zwarty. Dla punktów należących do A suma odległości od prostych jest nie większa niż 4r, dla punktów leżących poza A suma odległości od prostych jest większa niż 2r. Mamy punkt przecięcia odległy od półpłaszczyzny o r, zatem minimum, o ile istnieje, ma sumę odległości nie większa niż 2r, minimum, o ile istnieje, jest dla elementu z A. No i wystarczy pokazać, że istnieje. A jest zwarty, suma odległości jest ciągła, zatem suma odległości dla elementu z A przyjmuje wartość najmniejszą, a ta wartość najmniejsza jest mniejsza niż suma odległości od prostych dla punktów spoza A.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj