Topologia, zadanie nr 1371

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
celinka postów: 4	2013-06-01 15:15:20 Podprzestrzeń X płaszczyzny euklidesowej jest sumą skończonej liczby okręgów, z któ- rych każde dwa mają punkt wspólny. Czy X jest obrazem ciągłym odcinka (domkniętego, otwartego, z jednym końcem)? Czy X jest zwarta?

tumor postów: 8070	2014-05-31 10:21:19 Okrąg jest spójny, domknięty i ograniczony, zwarty. Suma dwóch takich zbiorów o niepustej części wspólnej też jest takim zbiorem, zatem przez indukcję suma n takich zbiorów też jest takim zbiorem. $X$ jest ciągłym obrazem odcinka niezależnie od końców tego odcinka, dowieść należy tylko, że jest ciągłym obrazem odcinka domkniętego (bo odcinek domknięty jest ciągłym obrazem odcinka o dowolnych końcach, przykłady były w podręcznikach z gimnazjum, a złożenie funkcji ciągłych jest ciągłe). Dowód można indukcyjnie. Jeden okrąg jest obrazem odcinka domkniętego $[a,b]$. Jeśli do takiego obrazu dokleimy kolejny okrąg i punkt doklejenia będzie równy $f(b)$, to w oczywisty sposób tak powstały zbiór będzie obrazem przedziału $[a;b]\cup [b;c]$. Jeśli żaden punkt przecięcia dotychczasowej figury z nowym okręgiem nie jest równy $f(b)$, to bierzemy drogę łączącą dowolny z tych punktów z $f(b)$, droga ta jest obrazem $[b;c]$, natomiast doklejany okrąg to obraz $[c;d]$. Nowa figura jest obrazem przedziału $[a;b]\cup [b;c]\cup [c;d]$. W skończonej liczbie kroków uzasadniamy, że $X$ jest obrazem odcinka domkniętego. Jak ktoś lubi dowody nieczytelne, to należy to rozumowanie zapisać w formalnej symbolice. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj