Topologia, zadanie nr 1372

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
celinka postów: 4	2013-06-01 15:18:01 Udowodnić, że odwzorowanie homeomorficzne jednego przedziału liczbowego na drugi jest ściśle monotoniczne.

tumor postów: 8070	2014-05-31 08:34:50 Korzystając z twierdzeń analizy łatwo dostajemy, że jeśli $f$ jest ciągła na przedziale domkniętym (a ma własność Darboux), to jeśli nie jest ściśle monotoniczna, to nie jest różnowartościowa, czyli nie może być homeomorfizmem. Możemy rzecz machnąć bardziej metodami topologii. Homeomorfizm $f$ to bijekcja taka, że $f$ i $f^{-1}$ są obie ciągłe. Przypuśćmy, że istnieją $a,b,c$ że $a<b<c$ i $f(b)>f(a)$, $f(b)>f(c)$ (analogicznie rozumowanie można przeprowadzić dla nierówności w drugą stronę), czyli że $f$ nie jest ściśle monotoniczna. Nie musimy rozważać równości, bo te od razu przeczą różnowartościowości. Rozważmy przeciwobraz zbioru $A=[min(f(a),f(c)), max(f(a),f(c))]$. Przeciwobraz zbioru spójnego poprzez homeomorfizm musi być spójny, tu $B=f^{-1}[A]$ jest niespójny, bo istnieją punkty zbioru $B$ mniejsze od $b$ i istnieją większe od $b$, choć $b\notin B$. $f$ nie jest homeomorfizmem.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj