Algebra, zadanie nr 1385

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kamilka12345 postów: 28	2013-06-02 16:22:57 Wyznacz ciąg ostatnich cyfr dla ciągu liczb Fermata $Fn = 22n + 1 (n =0,1,2,3,...)$.

kamilka12345 postów: 28	2013-06-02 16:33:52 Z kategorii Teoria Liczb

tumor postów: 8070	2013-06-02 18:14:26 Nie trzeba dopisywać kategorii teoria liczb, to błąd niezbyt istotny. Ważniejsze jest, żeby liczby Fermata pisać $2^{2^n}+1$ dla n=0 mamy 3 dla n=1 mamy 5 dla n=2 mamy 7 dla n=3 mamy 7 dla n=4 mamy 7 co już sugeruje pewną prawidłowość. :) Wyrażamy w tym momencie przypuszczenie, że ostatnią cyfrą już zawsze będzie 7. Wypada teraz do udowodnić. Zauważmy, że ostatnią cyfrę identyczną mają liczby $2^n$ i $2^{n+4}$, dla $n\in N_+$. Stąd wynika, że także identyczną ostatnią cyfrę mają liczby $2^n$ i $2^{n+4k}$ dla $n,k\in N_+$, zatem jeśli $4\|n$, to także identyczną ostatnią cyfrę mają liczby $2^n$ i $2^{kn}$. zauważmy, że dla $n\ge 2$ liczba $2^n$ jest podzielna przez $4$. Czyli liczby $2^{2^n}$ i $2^{2^nk}$ mają identyczną ostatnią cyfrę, zatem dla $k=2$: $2^{2^n}+1$ ma identyczną ostatnią cyfrę z $2^{2^{n+1}}+1$, co nam daje indukcyjny dowód, że ostatnią cyfrą już zawsze będzie 7. Przy tym ja ciągle piszę "identyczne ostatnie cyfry" trzymając się ujęcia zagadnienia w zadaniu. Natomiast można mówić o przystawaniu $mod 10$, co może będzie ładniejsze. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj