Analiza matematyczna, zadanie nr 1391
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
anka2720 post贸w: 46 |  2013-06-04 09:14:18Obliczy膰 warto艣膰 najwi臋ksz膮 i najmniejsz膮 funkcji a) $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-2y+10$ w kwadracie $0 \le x \le 10$, $0 \le y \le 10$ b) f(x,y)=2x+5y w kole $x^{2}+y^{2}\le 5$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 07:29:50 a) Liczymy pochodne cz膮stkowe. $f`_x=2x-2$ $f`_y=2y-2$ Obie pochodne zeruj膮 si臋 w punkcie $P_1=(1,1)$ Nast臋pnie rozwa偶my boki kwadratu. Je艣li $x=0$ to $f$ ma posta膰 $y^2-2y$, $f`$ to $2y-2$, zeruje si臋 dla $P_2=(0,1)$. Analogicznie pozosta艂e boki kwadratu. I na ko艅cu wierzcho艂ki $P_6=(0,0)$, $P_7=(0,10),...$ Potem wystarczy policzy膰 $f(P_i)$, $i=1,2,...,9$ W艣r贸d nich b臋dzie warto艣膰 najmniejsza i najwi臋ksza. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 07:49:13 b) $f`_x=2$ $f`_y=5$ czyli pochodne si臋 nie zeruj膮, nie daje to 偶adnych punkt贸w stacjonarnych Warto艣ci najmniejsza i najwi臋ksza b臋d膮 na okr臋gu. $y=\sqrt{5-x^2}$ $f(x)=2x+5\sqrt{5-x^2}$ $f`(x)=2+5*\frac{1}{2}*(5-x^2)^{-\frac{1}{2}}*(-2x)$ $2=5*\frac{1}{2}*(5-x^2)^{-\frac{1}{2}}*(2x)$ $\frac{2}{5}=(5-x^2)^{-\frac{1}{2}}*(x)$ $\frac{4}{25}=(5-x^2)^{-1}*(x^2)$ $\frac{4}{25}*5-\frac{4}{25}x^2=x^2$ $\frac{4}{5}=\frac{29}{25}x^2$ $\frac{20}{29}=x^2$ $x=\pm \sqrt{\frac{20}{29}}$ dla takich $x$ mamy warto艣膰 najmniejsz膮 i najwi臋ksz膮. --- Inaczej. $z=2x+5y$ jest p艂aszczyzn膮 w przestrzeni tr贸jwymiarowej. dla prostej $2x=-5y$ (i w konsekwencji dla prostych do niej r贸wnoleg艂ych) warto艣膰 funkcji jest f sta艂a, prost膮 mo偶emy zapisa膰 $y=\frac{2}{-5}x$ Najwi臋kszy spadek warto艣ci b臋dziemy mie膰 na prostej prostopad艂ej $y= \frac{5}{2}x$ Szukamy zatem przeci臋cia tej prostej z okr臋giem $x^2+y^2=5$ Otrzymujemy $x^2+\frac{25}{4}x^2=5$ $x^2=\frac{20}{29}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj