Analiza matematyczna, zadanie nr 1391

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
anka2720 postów: 46	2013-06-04 09:14:18 Obliczyć wartość największą i najmniejszą funkcji a) $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-2y+10$ w kwadracie $0 \le x \le 10$, $0 \le y \le 10$ b) f(x,y)=2x+5y w kole $x^{2}+y^{2}\le 5$

tumor postów: 8070	2014-05-31 07:29:50 a) Liczymy pochodne cząstkowe. $f`_x=2x-2$ $f`_y=2y-2$ Obie pochodne zerują się w punkcie $P_1=(1,1)$ Następnie rozważmy boki kwadratu. Jeśli $x=0$ to $f$ ma postać $y^2-2y$, $f`$ to $2y-2$, zeruje się dla $P_2=(0,1)$. Analogicznie pozostałe boki kwadratu. I na końcu wierzchołki $P_6=(0,0)$, $P_7=(0,10),...$ Potem wystarczy policzyć $f(P_i)$, $i=1,2,...,9$ Wśród nich będzie wartość najmniejsza i największa.

tumor postów: 8070	2014-05-31 07:49:13 b) $f`_x=2$ $f`_y=5$ czyli pochodne się nie zerują, nie daje to żadnych punktów stacjonarnych Wartości najmniejsza i największa będą na okręgu. $y=\sqrt{5-x^2}$ $f(x)=2x+5\sqrt{5-x^2}$ $f`(x)=2+5\frac{1}{2}(5-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)$ $2=5\frac{1}{2}(5-x^2)^{-\frac{1}{2}}(2x)$ $\frac{2}{5}=(5-x^2)^{-\frac{1}{2}}(x)$ $\frac{4}{25}=(5-x^2)^{-1}(x^2)$ $\frac{4}{25}*5-\frac{4}{25}x^2=x^2$ $\frac{4}{5}=\frac{29}{25}x^2$ $\frac{20}{29}=x^2$ $x=\pm \sqrt{\frac{20}{29}}$ dla takich $x$ mamy wartość najmniejszą i największą. --- Inaczej. $z=2x+5y$ jest płaszczyzną w przestrzeni trójwymiarowej. dla prostej $2x=-5y$ (i w konsekwencji dla prostych do niej równoległych) wartość funkcji jest f stała, prostą możemy zapisać $y=\frac{2}{-5}x$ Największy spadek wartości będziemy mieć na prostej prostopadłej $y= \frac{5}{2}x$ Szukamy zatem przecięcia tej prostej z okręgiem $x^2+y^2=5$ Otrzymujemy $x^2+\frac{25}{4}x^2=5$ $x^2=\frac{20}{29}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj