logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1401

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mz330
postów: 1
2013-06-06 14:12:02

Twierdzenie Stolza. Proszę o pomoc i rozpisanie żebym mogła zrozumieć??
$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1^k+2^k+...+n^k}{n^(k+1)},k\in N
$


tumor
postów: 8070
2016-09-15 09:07:57

nazwijmy ciągi tak:
$b_n=1^k+2^k+...+n^k$
$a_n=n^{k+1}$

Twierdzenie Stolza mówi, że jeśli $a_n$ jest rosnący i ma granicę $+\infty$ (w naszym przypadku oczywiście tak jest), to granica z $\frac{b_n}{a_n}$ jest równa granicy

$\lim_{n \to \infty}\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}=
\lim_{n \to \infty}\frac{n^k}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}=
\lim_{n \to \infty}\frac{n^k}{n^{k+1}-n^{k+1}+(k+1)n^{k}+P(n)}=\frac{1}{k+1}$

o ile ta ostatnia granica istnieje, a tu, jak widzimy, istnieje.
P(n) jest wielomianem stopnia k-1, który nie ma wpływu na zbieżność.

"żebym mogła zrozumieć" to tekst bezcenny

Wiadomość była modyfikowana 2016-09-15 12:28:09 przez tumor

janusz78
postów: 820
2016-09-15 11:35:41

Z twierdzenia Stolza wynika, że jeżeli w mianowniku występuje potęga $ n^{k+1}$ to granica

$ lim_{n\to \infty}\frac{1^{k} +2^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}} = \frac{n^{k}}{n^{k+1} - (n-1)^{k+1}}= \frac{1}{k+1}.$


Czy na pewno w mianowniku nie występuje iloczyn $ n\cdot(k+1)?$





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj