Teoria mnogości, zadanie nr 1402

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
marc1234 postów: 4	2013-06-06 16:07:49 Witam, mam prośbę o sprawdzenie moich zadań ze zbiorów (są to zadania typu A B C). Proszę też o poprawne odpowiedzi tam, gdzie mam błędy. Zadania: 1. Zbiorem potęgowym nazywa się: a) zbiór wszystkich niepustych podzbiorów zbioru A b) zbiór wszystkich podzbiorów A c) zbiór o takiej samej mocy, która jest drugą potęgą mocy zbioru A d) zbiór o takiej samej mocy, która jest pewną naturalną potęgą mocy zbioru A Wybrałem: B 2. Moc zbioru liczb naturalnych określa się jako: a) continuum b) alef 0 c) alef 1 Wybrałem: B 3. Zaznacz wynik operacji: $N\cap P(N)$ gdzie N jest zbiorem liczb naturalnych, a P(N) zbiorem potęgowym zbioru N a) P(N) b) N c) zbiór pusty Wybrałem: B 4. Zbiór liczb naturalnych podzielono na trzy podzbiory $A_{0}$, $A_{1}$, $A_{2}$ w ten sposób, że w zbiorze $A_{i}$ znajdują się wszystkie liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę i . Wskaż zdanie fałszywe: a) Każdy ze zbiorów $A_{i}$ jest przeliczalny. b) Moc zbioru potęgowego $A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2}$ jest równa 2 c) \|$A_{0}$\|=\|$A_{1}$\|=\|$A_{2}$\| Wybrałem: B 5. Która informacja pozwala stwierdzić, że dwa zbiory A i B są równoliczne? a) obydwa zbiory są nieskończone i przeliczalne b) obydwa zbiory są nieskończone i nieprzeliczalne c) obydwa zbiory są nieskończone Wybrałem: A 6. Jaka funkcja ustala równoliczność zbiorów X to zbiór liczb parzystych; Y to zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 5? $x\in X$ a) f(x)=5x b) f(x)=5/2 x c) f(x)=2x d) f(x)=2/5 x Wybrałem: B 7. Wskaż wszystkie zbiory równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych (może być kilka odpowiedzi): a) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych b) $A=x\in (-1;1)$ c) zbiór liczb niewymiernych d) zbiór liczb wymiernych Wybrałem: A, D. 8. Moc zbioru P(A) dla danego zbioru A: a) jest większa niż moc zbioru A, o ile A jest skończony b) jest równa mocy zbioru A c) jest większa niż moc zbioru A, o ile A jest nieskończony d) jest zawsze większa niż moc zbioru A Wybrałem: D 9. Niech A będzie zbiorem rozwiązań równania z parametrem p: \|2x - 7\|= p Ile wynosi p, jeśli wiemy, że $2^{2^{\|A\|}}=4$ ? a) p= 7 b) p<0 c) p=0 Wybrałem: B 10. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym $a_{n}=(n-1)(21-n)$ . Zbiór wyrazów tego ciągu o wartościach ujemnych: a) ma moc $2^{\aleph_{0}}$ b) jest skończony c) jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych Wybrałem: B 11. Niech $A={x\in R: (x-b_{1})^{k_{1}}\cdot (x-b_{2})^{k_{2}}\cdot ... \cdot (x-b_{5})^{k_{5}}\le 0}$ wobec tego: a) przynajmniej jedna z liczb $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $k_{4}$,$k_{5}$ jest parzysta b) $b_{1}$ = $b_{2}$ = $b_{3}$ = $b_{4}$ = $b_{5}$ c) wszystkie liczby $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $k_{4}$,$k_{5}$ są parzyste Wybrałem: B 12. Funkcja f jest dana wzorem: $f(x)=\begin{cases} -1 \text{dla x wymiernych} \\ 1\text{dla x niewymiernych} \end{cases}$ Wówczas: a) Zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne jest równoliczny ze zbiorem argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie b) Funkcja f nie istnieje, ponieważ nie da się narysować jej wykresu c) Zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych Wybrałem: A Z góry dziękuję za pomoc :) Wiadomość była modyfikowana 2013-06-06 16:17:30 przez marc1234

tumor postów: 8070	2013-06-07 08:32:05 1-6 zgadzam się 7. Liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele (bo liczby wymierne są postaci $\frac{p}{q}$, $p,q\in Z$, $q\neq 0$. Możemy zatem gładko pokazać $Q\sim Z\times Z$ (gdzie $\sim$ oznacza równoliczność). Ze zbiorem R równoliczny jest zatem zbiór liczb niewymiernych. Wskazówka do argumentacji jest tu http://www.forum.math.edu.pl/temat,studia,1365,0 Funkcja $f:R\to (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ dana wzorem $f(x)=arctgx$ jest bijekcją, zatem $R \sim (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Bijekcją jest także przesuwanie o wektor i skalowanie. Bijekcją jest złożenie bijekcji. Stąd (i tw. C-B) dostajemy, że każdy niezdegenerowany przedział na prostej (niezależnie od domkniętości końców) jest równoliczny z R. Zgadzam się także, że $2^N\sim R$ Moje odp. to a,b,c. (Przy tym odpowiedź b jest DZIWNIE zapisana. Potraktowałem ją jako $A=(-1;1)$. Stwierdzenie $A=x\in (-1;1)$ oznacza, że A jest zdaniem, pojedynczym zdaniem, co w tym kontekście jasno nie pasuje. I oczywiście wtedy wykluczamy tę odpowiedź)

tumor postów: 8070	2013-06-07 08:45:17 8. Zgadzam się. 9. Z równania $2^{2^{\|A\|}}=4$ mamy, że $\|A\|=1$. Czyli równanie $\|2x-7\|=p$ ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli $p<0$, to równanie to nie ma rozwiązań wcale, a $2^{2^0}=2$ Natomiast jeśli $p=0$, to rzecz redukuje się do równania $2x-7=0$, a takie równanie rzeczywiście ma dokładnie jedno rozwiązanie. $\|2x-7\|=7$ ma dwa rozwiązania ($x=0$ i $x=7$) 10. $(n-1)(21-n)=-n^2 +22n-21$ to parabola z ramionami w dół. Bierzemy pod uwagę dziedzinę $n\in N_+$, ale skoro prawe ramię paraboli idzie w dół, to na pewno nieskończenie wiele wyrazów będzie mniejszych od $0$. Natomiast nie może tych wyrazów być więcej niż liczb naturalnych. Stąd odpowiedź c. (Dokładniej, dla każdego $n>21$ mamy $a_n<0$) ---------- Uwaga praktyczna, jeśli chcesz, żeby był widoczny nawias "{}", to w TEXu pisz \{ i \}

tumor postów: 8070	2013-06-07 09:03:49 11. Albo czegoś nie rozumiem, albo ktoś pominął część polecenia. Zbiór $A$ dany jest jako $\{x\in R: \mbox{cośtam cośtam}\}$. NIEZALEŻNIE OD TEGO, co opisuje "cośtam", zbiór A da się stworzyć. Może będzie pusty, może nie będzie, może przeliczalny, a może nieprzeliczalny. Ja podejrzewam, że w poleceniu była jeszcze jakaś informacja o zbiorze $A$. 12. Ważna rzecz, która była już w zadaniu wcześniej. Zbiór $Q$ jest przeliczalny! A zbiór $R\backslash Q$ liczb niewymiernych NIE JEST przeliczalny, a dokładniej jest równoliczny z $R$. Z faktu tego się czasem korzysta, to nie tylko ciekawostka, a fakt całkiem ważny. Dlatego trzeba pamiętać i umieć pokazać. Natomiast prawdą jest, co mogło cię zmylić, że pozostałe odpowiedzi też są błędne. Umiejętność rysowania wykresu nie wpływa na istnienie funkcji. W szczególności funkcji, które dałoby się narysować jest "mało" w topologicznym sensie, bo zbiór funkcji różniczkowalnych choć w jednym punkcie jest zbiorem I kategorii, a cóż dopiero funkcji nieróżniczkowalnych najwyżej w przeliczalnej ilości miejsc! (A rzecz wynika z tw. Baire'a i tw. Banacha, moim zdaniem to ciekawy fragment matematyki) Wartości ujemne funkcja przyjmuje dla $x$ wymiernych, a $Q$ nie jest równoliczny z $R$. Zatem wszystkie odpowiedzi są błędne. Gdyby zamienić znaki w definicji funkcji i $-1$ byłoby dla niewymiernych, wtedy poprawna byłaby odpowiedź $c$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj