logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 1402

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

marc1234
postów: 4
2013-06-06 16:07:49

Witam, mam prośbę o sprawdzenie moich zadań ze zbiorów (są to zadania typu A B C). Proszę też o poprawne odpowiedzi tam, gdzie mam błędy.

Zadania:

1. Zbiorem potęgowym nazywa się:
a) zbiór wszystkich niepustych podzbiorów zbioru A
b) zbiór wszystkich podzbiorów A
c) zbiór o takiej samej mocy, która jest drugą potęgą mocy zbioru A
d) zbiór o takiej samej mocy, która jest pewną naturalną potęgą mocy zbioru A
Wybrałem: B
2. Moc zbioru liczb naturalnych określa się jako:
a) continuum b) alef 0 c) alef 1 Wybrałem: B
3. Zaznacz wynik operacji: $N\cap P(N)$ gdzie N jest zbiorem liczb naturalnych, a P(N) zbiorem potęgowym zbioru N
a) P(N) b) N c) zbiór pusty Wybrałem: B
4. Zbiór liczb naturalnych podzielono na trzy podzbiory $A_{0}$, $A_{1}$, $A_{2}$ w ten sposób, że w zbiorze $A_{i}$ znajdują się wszystkie liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę i . Wskaż zdanie fałszywe:
a) Każdy ze zbiorów $A_{i}$ jest przeliczalny.
b) Moc zbioru potęgowego $A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2}$ jest równa 2
c) |$A_{0}$|=|$A_{1}$|=|$A_{2}$| Wybrałem: B
5. Która informacja pozwala stwierdzić, że dwa zbiory A i B są równoliczne?
a) obydwa zbiory są nieskończone i przeliczalne
b) obydwa zbiory są nieskończone i nieprzeliczalne
c) obydwa zbiory są nieskończone Wybrałem: A
6. Jaka funkcja ustala równoliczność zbiorów X to zbiór liczb parzystych; Y to zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 5? $x\in X$
a) f(x)=5x
b) f(x)=5/2 x
c) f(x)=2x
d) f(x)=2/5 x Wybrałem: B
7. Wskaż wszystkie zbiory równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych (może być kilka odpowiedzi):
a) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych
b) $A=x\in (-1;1)$
c) zbiór liczb niewymiernych
d) zbiór liczb wymiernych Wybrałem: A, D.
8. Moc zbioru P(A) dla danego zbioru A:
a) jest większa niż moc zbioru A, o ile A jest skończony
b) jest równa mocy zbioru A
c) jest większa niż moc zbioru A, o ile A jest nieskończony
d) jest zawsze większa niż moc zbioru A Wybrałem: D
9. Niech A będzie zbiorem rozwiązań równania z parametrem p: |2x - 7|= p Ile wynosi p, jeśli wiemy, że $2^{2^{|A|}}=4$ ?
a) p= 7 b) p<0 c) p=0 Wybrałem: B
10. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym $a_{n}=(n-1)(21-n)$ . Zbiór wyrazów tego ciągu o wartościach ujemnych:
a) ma moc $2^{\aleph_{0}}$
b) jest skończony
c) jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych Wybrałem: B
11. Niech $A={x\in R: (x-b_{1})^{k_{1}}\cdot (x-b_{2})^{k_{2}}\cdot ... \cdot (x-b_{5})^{k_{5}}\le 0}$ wobec tego:
a) przynajmniej jedna z liczb $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $k_{4}$,$k_{5}$ jest parzysta
b) $b_{1}$ = $b_{2}$ = $b_{3}$ = $b_{4}$ = $b_{5}$
c) wszystkie liczby $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $k_{4}$,$k_{5}$ są parzyste Wybrałem: B
12. Funkcja f jest dana wzorem: $f(x)=\begin{cases} -1 \text{dla x wymiernych} \\ 1\text{dla x niewymiernych} \end{cases}$ Wówczas:
a) Zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne jest równoliczny ze zbiorem argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie
b) Funkcja f nie istnieje, ponieważ nie da się narysować jej wykresu
c) Zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych
Wybrałem: A

Z góry dziękuję za pomoc :)

Wiadomość była modyfikowana 2013-06-06 16:17:30 przez marc1234

tumor
postów: 8070
2013-06-07 08:32:05

1-6 zgadzam się

7. Liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele (bo liczby wymierne są postaci $\frac{p}{q}$, $p,q\in Z$, $q\neq 0$. Możemy zatem gładko pokazać $Q\sim Z\times Z$ (gdzie $\sim$ oznacza równoliczność).

Ze zbiorem R równoliczny jest zatem zbiór liczb niewymiernych. Wskazówka do argumentacji jest tu
http://www.forum.math.edu.pl/temat,studia,1365,0

Funkcja $f:R\to (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ dana wzorem $f(x)=arctgx$ jest bijekcją, zatem $R \sim (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.
Bijekcją jest także przesuwanie o wektor i skalowanie. Bijekcją jest złożenie bijekcji.
Stąd (i tw. C-B) dostajemy, że każdy niezdegenerowany przedział na prostej (niezależnie od domkniętości końców) jest równoliczny z R.

Zgadzam się także, że $2^N\sim R$

Moje odp. to a,b,c.
(Przy tym odpowiedź b jest DZIWNIE zapisana. Potraktowałem ją jako $A=(-1;1)$. Stwierdzenie $A=x\in (-1;1)$ oznacza, że A jest zdaniem, pojedynczym zdaniem, co w tym kontekście jasno nie pasuje. I oczywiście wtedy wykluczamy tę odpowiedź)




tumor
postów: 8070
2013-06-07 08:45:17

8. Zgadzam się.

9. Z równania $2^{2^{|A|}}=4$ mamy, że $|A|=1$.

Czyli równanie $|2x-7|=p$ ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeśli $p<0$, to równanie to nie ma rozwiązań wcale, a $2^{2^0}=2$
Natomiast jeśli $p=0$, to rzecz redukuje się do równania
$2x-7=0$, a takie równanie rzeczywiście ma dokładnie jedno rozwiązanie.
$|2x-7|=7$ ma dwa rozwiązania ($x=0$ i $x=7$)

10. $(n-1)(21-n)=-n^2 +22n-21$ to parabola z ramionami w dół. Bierzemy pod uwagę dziedzinę $n\in N_+$, ale skoro prawe ramię paraboli idzie w dół, to na pewno nieskończenie wiele wyrazów będzie mniejszych od $0$. Natomiast nie może tych wyrazów być więcej niż liczb naturalnych. Stąd odpowiedź c.

(Dokładniej, dla każdego $n>21$ mamy $a_n<0$)

----------

Uwaga praktyczna, jeśli chcesz, żeby był widoczny nawias "{}", to w TEXu pisz \{ i \}


tumor
postów: 8070
2013-06-07 09:03:49

11. Albo czegoś nie rozumiem, albo ktoś pominął część polecenia.

Zbiór $A$ dany jest jako $\{x\in R: \mbox{cośtam cośtam}\}$.
NIEZALEŻNIE OD TEGO, co opisuje "cośtam", zbiór A da się stworzyć. Może będzie pusty, może nie będzie, może przeliczalny, a może nieprzeliczalny.
Ja podejrzewam, że w poleceniu była jeszcze jakaś informacja o zbiorze $A$.

12. Ważna rzecz, która była już w zadaniu wcześniej. Zbiór $Q$ jest przeliczalny! A zbiór $R\backslash Q$ liczb niewymiernych NIE JEST przeliczalny, a dokładniej jest równoliczny z $R$.
Z faktu tego się czasem korzysta, to nie tylko ciekawostka, a fakt całkiem ważny. Dlatego trzeba pamiętać i umieć pokazać.

Natomiast prawdą jest, co mogło cię zmylić, że pozostałe odpowiedzi też są błędne. Umiejętność rysowania wykresu nie wpływa na istnienie funkcji. W szczególności funkcji, które dałoby się narysować jest "mało" w topologicznym sensie, bo zbiór funkcji różniczkowalnych choć w jednym punkcie jest zbiorem I kategorii, a cóż dopiero funkcji nieróżniczkowalnych najwyżej w przeliczalnej ilości miejsc! (A rzecz wynika z tw. Baire'a i tw. Banacha, moim zdaniem to ciekawy fragment matematyki)

Wartości ujemne funkcja przyjmuje dla $x$ wymiernych, a $Q$ nie jest równoliczny z $R$.
Zatem wszystkie odpowiedzi są błędne. Gdyby zamienić znaki w definicji funkcji i $-1$ byłoby dla niewymiernych, wtedy poprawna byłaby odpowiedź $c$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj