Teoria liczb, zadanie nr 1411

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
polkiuyt postów: 34	2013-06-09 08:42:04 Udowodnij, że jeśli p$\in$P\{2}, to istnieją dokładnie dwie różne liczby naturalne x i y spełniające równanie $\frac{2}{p}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

tumor postów: 8070	2013-06-11 11:42:36 Zauważmy, że rozwiązaniem jest p=x=y. Chcemy, by $x\neq y$, przyjmijmy $x>y>0$. Wtedy musimy mieć $\frac{1}{x}<\frac{1}{p}<\frac{1}{y}<\frac{2}{p}$ czyli $p>y>\frac{p}{2}$ $p$ jest liczbą nieparzystą, natomiast $y$ jest liczbą całkowitą, zatem $y=\frac{p+k}{2}$, gdzie $k$ jest jakąś liczbą nieparzystą mniejszą od $p$. Podstawmy do równania. $\frac{2}{p}=\frac{1}{\frac{p+k}{2}}+\frac{1}{x}$ i sprowadźmy częściowo do wspólnego mianownika $\frac{2\frac{p+k}{2}}{p\frac{p+k}{2}}=\frac{p}{p\frac{p+k}{2}}+\frac{1}{x}$ $\frac{p+k}{p\frac{p+k}{2}}=\frac{p}{p\frac{p+k}{2}}+\frac{1}{x}$ Stąd $\frac{1}{x}=\frac{k}{p\frac{p+k}{2}}$ Chcemy mieć w liczniku $1$, czyli $k$ musiałoby się nam skrócić z mianownikiem. Oczywiście nie skraca się z $p$, bo $p$ pierwsza i większa od $k$. Zatem $k\|\frac{p+k}{2}$, wtedy $2k\|p+k$, ale stąd wniosek, że $k\|p$. Zatem $k=1$, bo $k<p$. Otrzymaliśmy jedyne rozwiązanie. $\frac{p+1}{p\frac{p+1}{2}}=\frac{1}{\frac{p+1}{2}}+\frac{1}{p\frac{p+1}{2}}$ czyli $y=\frac{p+1}{2}$ $x=p*\frac{p+1}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj