Analiza matematyczna, zadanie nr 1416

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dzastin postów: 2	2013-06-10 18:59:34 wyznacz rozwinięcie w szereg Taylora funkcji: f(z)=$\frac{1+2z}{1-2z}$ Pomocy!

tumor postów: 8070	2013-06-11 09:10:32 Trzeba policzyć wszystkie pochodne. $f(z)=\frac{-1+2z}{1-2z}+\frac{2}{1-2z}=-1+\frac{2}{1-2z}$ $f`(z)=\frac{4}{(1-2z)^2}$ $f``(z)=\frac{16}{(1-2z)^3}$ i co dalej? Licznik będzie się zwiększał 3, potem 4 etc, czyli będzie w nim n! dla n-tej pochodnej. Poza tym będą tam kolejne potęgi liczby 2, które da -(-2) jako część pochodnej złożonej mianownika. $f^{(n)}(z)=\frac{2^{n+1}n!}{(1-2z)^{n+1}}$ No i możesz podstawiać do wzoru. Na przykład w $z_0=0$ pochodne to $f^{(n)}(0)=2^{n+1}n!$ $f(z)=f(0)+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{f`(0)}{i!}z^i= 1+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^{i+1}i!}{i!}z^i= 1+\sum_{i=1}^{\infty}2^{i+1}z^i$ (co nam od razu podpowiada, gdzie będzie rozbieżny)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj