Algebra, zadanie nr 1451

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ania16177 postów: 49	2013-06-17 12:38:57 znajdź wyznacznik macierzy: $\begin{vmatrix} a&2&3&...&n-1&n\\1&2a&3&...&n-1&n\\1&2&3a&...&n-1&n\\.&.&.&...&.&.\\1&2&3&...&(n-1)a&n\\1&2&3&...&n-1&na\end{vmatrix}$

tumor postów: 8070	2013-11-05 16:52:08 Jeśli k-tą kolumnę podzielimy przez k, to wyznacznik się nam podzieli przez k. Zatem wyznacznik macierzy, o który pytasz, jest n! razy większy niż wyznacznik macierzy $\left[\begin{matrix} a & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & a & 1 & ... & 1 \\ . & . &.&.&. \\ 1 & 1 & 1 & ... & a \end{matrix}\right]$ jeśli teraz od wszystkich wierszy odejmiemy wiersz ostatni, nie zmieni się wyznacznik. Mamy $\left[\begin{matrix} a-1 & 0 & 0 & ... &0& 1-a \\ 0 & a-1 & 0 & ...&0 & 1-a \\ 0 & 0 & a-1 & ...&0 & 1-a \\ . & . &.&.&.&. \\ 0 & 0 & 0 & ... &a-1& 1-a \\ 1 & 1 & 1 & ... &1& a \end{matrix}\right]$ widzimy, mam nadzieję, ile wynosi wyznacznik, jeśli $a=1$. Jeśli $a\neq 1$ to możemy od ostatniego wiersza odjąć sumę pozostałych dzieloną przez a-1 Dostaniemy macierz trójkątną $\left[\begin{matrix} a-1 & 0 & 0 & ... &0& 1-a \\ 0 & a-1 & 0 & ...&0 & 1-a \\ 0 & 0 & a-1 & ...&0 & 1-a \\ . & . &.&.&.&. \\ 0 & 0 & 0 & ... &a-1& 1-a \\ 0 & 0 & 0 & ... &0& a-\frac{(n-1)(1-a)}{a-1} \end{matrix}\right]$ Wyznacznik jej jest iloczynem wyrazów na przekątnej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj