Algebra, zadanie nr 1499

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
annaklara233 postów: 1	2013-06-30 16:51:08 Witam, mam problem z zadaniem. Grupa$G=A_{4}xZ_{2}$ 1)Wyznaczyć podgrupy grupy G; 2) Podgrupy normalne grupy G; 3) Grupy ilorazowe; Najbardziej mi zależy na 2 pierwszych podpunktach. Wiem, że moc grupy G to 24 i podgrupy będą: 1,2,4,6,8,12,24(rzędowe) Natomiast nie wiem jak będą wyglądać np grupy 3 lub 4 rzędowe i jak je stworzyć? Bardzo proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2014-06-27 09:18:12 1) Dobrze się zorientować, co to takiego $A_4$ i jakie ma podgrupy. Jest to grupa permutacji parzystych zbioru 4-elementowego i zawiera elementy: 1234=id 1342 1423 2143 2314 2431 3124 3241 3412 4132 4213 4321 Podgrupę jednoelementową tworzy oczywiście id i to trywialna podgrupa normalna. Podgrupy dwuelementowe mają postać $(id,\tau)$ gdzie $\tau$ jest inwolucją, czyli permutacją, która złożona ze sobą daje id. Na przykład $\tau=2143$. Są jeszcze dwie inne (no i id, którą pomijamy). Podgrupę trzyelementową dostajemy na przykład z elementów 1234=id 1342 1423 podgrupa ta to w praktyce $A_3$, polega na tym, że nie ruszamy pierwszego elementu, a permutujemy pozostałe. Podobnie możemy zrobić z drugim elementem, trzecim lub czwartym: 1234=id 2314 3124 Jeśli teraz zsumujemy (mnogościowo) wszystkie podgrupy dwuelementowe, dostaniemy: id 2143 3412 4321 Sprawdzamy, że to podgrupa czteroelementowa. Wypada pomęczyć się i pokazać, że jedyna. :) Podgrupy sześcioelementowej w $A_4$ nie ma. Jeśli teraz potrzebujesz podgrupy dwuelementowej w G, to możesz ją dostać albo jako dwuelementowa podgrupa $A_4 \times \{0\}$ albo jako $\{id\} \times Z_2$ Jeśli szukasz trzyelementowej, to jedyne wyjście to trzyelementowa podgrupa $A_4 \times \{0\}$ Dla czteroelementowej może być czteroementowa podgrupa $A_4 \times \{0\}$ lub dwuelementowa podgrupa $A_4 \times Z_2$ Dla sześcioelementowej nie ma wyjścia trzyementowa podgrupa $A_4 \times Z_2$ Dla ośmioelementowej nie ma wyjścia czteroementowa podgrupa $A_4 \times Z_2$ no i wersje 12- i 24-elementowe też są jasne. Podgrupa normalna to taka, że ma warstwy lewo- i prawostronne identyczne. To sobie powyznaczaj. Nie wszystkie podgrupy będą normalne, a wyniknie to z nieprzemienności permutacji. ;) Normalna zawsze będzie podgrupa trywialna jednoelementowa, cała grupa i podgrupa o indeksie 2, tych nie ma co sprawdzać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj