Teoria mnogości, zadanie nr 1506

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-07-06 13:11:08 W zbiorze $\mathbb{Q}\cap [1,2013]$ wprowadzamy relację $\prec$ nastepująco $\frac{p}{q}\prec \frac{r}{s}\iff\frac{ps}{qr}\in \mathbb{Z}$. Sprawdzić, że jest to relacja częściowego porządku i wskazać wszystkie elementy minimalne i maksymalne. bardzo proszę o pokazanie jak robi się takie zadanie z góry dziękuję

tumor postów: 8070	2013-09-14 09:32:39 Porządki (częściowe) są silne albo słabe, tu zależy wiele od sposobu ich wprowadzenia. Słaby porządek to na przykład $\le$ na $R$, jest to relacja zwrotna, przechodnia i słabo antysymetryczna, a słabym porządkom odpowiadają silnie porządki (i odwrotnie), tu odpowiedni silny to $<$. Jest to relacja przeciwzwrotna, przechodnia i asymetryczna (wystarczy przeciwzwrotność i przechodniość, asymetria z nich wynika). Relacja $\prec$ jest relacją zwrotną, mamy bowiem $\frac{p}{q}\prec \frac{p}{q}$, gdyż $\frac{pq}{pq}\in Z$. Czyli będziemy sprawdzać pozostałe warunki słabego częściowego porządku. a) (słaba) antysymetria, czyli warunek $aRb \wedge bRa \Rightarrow a=b$ Załóżmy zatem, że $\frac{p}{q}\prec \frac{r}{s}$ oraz $\frac{r}{s}\prec \frac{p}{q}$, zatem $\frac{ps}{qr}\in Z$ oraz $\frac{qr}{ps}\in Z$. Są tylko dwie liczby całkowite, których odwrotności są całkowite, to $\pm 1$. Odrzucamy $-1$, bo przeczy warunkom zadania. Dostajemy $ps=qr$, a także wiemy, że $p,s,r,q$ nie są zerami, stąd $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$, co należało pokazać. b) przechodniość, czyli warunek $xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz$ Załóżmy zatem, że $\frac{p}{q}\prec \frac{r}{s}$ oraz $\frac{r}{s}\prec \frac{t}{u}$, zatem $\frac{ps}{qr}\in Z$ oraz $\frac{ru}{st}\in Z$. Mnożąc te liczby dostajemy $\frac{ps}{qr}\cdot \frac{ru}{st}=\frac{pu}{qt}$, a iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą. $\frac{pu}{qt}\in Z$, a to oznacza, że $\frac{p}{q}\prec \frac{t}{u}$

tumor postów: 8070	2013-09-14 10:10:52 Element maksymalny to taki, że nie ma większego. Bardziej formalnie: element a nazywamy maksymalnym, gdy nie istnieje $b\neq a$ taki, że $a\prec b$. Minimalny analogicznie. Zastanówmy się (mózgowo!). W ogóle gdy robisz zadania, dojdź do tego, o czym jest zadanie, a nie staraj się go od razu zapisać krzakami. :) Krzaki to tylko język, żeby coś powiedzieć, trzeba najpierw MIEĆ CO powiedzieć. :) Jak po polsku. Zatem zastanówmy się, jak ta relacja w ogóle wygląda. Jeśli $\frac{ps}{qr}=1$, to $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$, jeśli $\frac{ps}{qr}=a$, to $\frac{p}{q}=a\frac{r}{s}$. Liczby $p,q,r,s$ są naturalne dodatnie (możemy tak założyć, bo tworzą liczby wymierne dodatnie), stąd i $a$ jest liczbą naturalną dodatnią. Czyli $\frac{r}{s}$ jest "większa w sensie relacji $\prec$" od $\frac{p}{q}$, jeśli jest a-krotnie mniejsza w sensie naturalnego porządku na $Q$ (mówimy o liczbach wymiernych). Ponadto mówimy o przedziale $[1,2013]$, element $\frac{p}{q}$ będzie minimalny, jeśli w $Q\cap [1,2013]$ NIE BĘDZIE a-krotnie (dla $a=2,3,4,...$) większej liczby wymiernej. Zatem wszystkie elementy z $Q\cap (1006\frac{1}{2}, 2013]$ są minimalne. Analogicznie, maksymalne są elementy z $Q\cap[1,2)$, bowiem w $Q\cap [1,2013]$ NIE MA liczb a-krotnie mniejszych od liczb z tego przedziału. Chyba że coś pomyliłem :P

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj