Algebra, zadanie nr 153

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jenov postów: 2	2011-09-14 11:16:28 Witam serdecznie. Prosiłbym o podsunięcie rozwiązania pewnej całki. Dawno temu przerabiałem materiał z tego i trochę moja wiedza się zakurzyła. Rozwiązanie jest na pewno banalne, tylko ja go nie widzę. W miarę możliwości prosiłbym o rozwiązanie z zastosowaniem elementarnych metod liczenia całek (podstawowe wzory, metoda podstawiania, całkowania przez części, pochodna w liczniku): $\int \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} dx$ Trochę nad tym siedziałem i udało mi się zrobić coś takiego: $\int \frac{x^{2}}{4x^{2}-9}dx=\frac {1}{4} \int \frac{x^{2}-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}{4x^{2}-\frac{9}{4}}dx=\frac{1}{4}dx+\frac{9}{4}\int \frac{1}{x^{2}-\frac{9}{4}}dx=?$ Mogę teraz w całce $\frac{9}{4}\int \frac{1}{x^{2}-\frac{9}{4}}dx$ zastosować podstawianie za $x^{2}-\frac{9}{4}$ ? Wiadomość była modyfikowana 2011-09-14 11:58:19 przez jenov

irena postów: 2636	2011-09-14 13:37:33 Początek jest dobry. $\int \frac{x^2}{4x^2-9}dx=\frac{1}{4}\int(1+\frac{\frac{9}{4}}{x^2-\frac{9}{4}})dx$ Ale ja rozpisałabym ułamek na sumę ułamków prostych: $\frac{1}{x^2-\frac{9}{4}}=\frac{A}{x-\frac{3}{2}}+\frac{B}{x+\frac{3}{2}}=\frac{(A+B)x+\frac{3}{2}(A-B)}{x^2-\frac{9}{4}}$ $\left\{\begin{matrix} A+B=0 \\ \frac{3}{2}(A-B)=1\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} A=\frac{1}{3} \\ B=-\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$ $\int\frac{dx}{x^2-\frac{9}{4}}=\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x+\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}ln\|\frac{x-\frac{3}{2}}{x+\frac{3}{2}}\|=\frac{1}{3}ln\|\frac{2x-3}{2x+3}\|$

jenov postów: 2	2011-09-14 14:25:36 Dziękuje uprzejmie za pomoc :)

Mariusz Śliwiński postów: 489	2011-09-14 17:32:01 Można też tak: $ \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} = \frac{1}{4} \cdot \frac {4x^2-9 + 9}{4x^2 - 9} = \frac{1}{4} \cdot(1 + \frac{9}{(2x+3)(2x-3)}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{(2x+3)(2x-3)} $ $\frac{1}{(2x+3)(3x-3)} = \frac{1}{6} \cdot (\frac {1}{2x-3} - \frac {1}{2x+3}) \cdot $ Zatem $ \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{12} \cdot 9 \cdot (\frac {2}{2x-3} - \frac {2}{2x+3}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} \cdot (\frac {2}{2x-3} - \frac {2}{2x+3}) $ $\int \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} dx = \frac{1}{4}x + \frac{3}{16} \cdot \ln\frac{\|2x-3\|}{\|2x+3\|} + C$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj