Algebra, zadanie nr 1612

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
falkapp postów: 6	2013-10-24 19:25:17 Dla kazdego n $\in$ N nich bedzie: S(n):=$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$ Udowodnic za pomoca indukcji matematycznej, ze: $\forall_{n \in N}$ : S($2^{n}) \le$ n + 1 Nalezy posluzyc sie wskazowka: a<b<c $\Rightarrow$ a+a+a < a+b+c .

tumor postów: 8070	2013-10-26 13:46:59 Sprawdzamy dla $n=0$, $S(2^0)=S(1)=\frac{1}{1}\le 0+1$ czyli działa. Zakładamy, że dla pewnego $n$ mamy $S(2^n)\le n+1$ $S(2^{n+1})=\sum_{i=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}= \sum_{i=1}^{2^{n}}\frac{1}{i}+\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}= S(2^n)+\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}$ Pamiętamy, mieliśmy $S(2^n)\le n+1$, natomiast $\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}$ to suma $2^n$ składników, z których największy to $\frac{1}{2^{n}+1}$. Zatem $\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}\le \frac{2^n}{2^{n}+1}\le 1$ Co dowodzi szukanej nierówności dla każdego $n$. Wskazówki jakoś ściśle nie użyłem, jej ślad odnajdujemy przy szacowaniu sumy z góry.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj