logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 1617

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasia93
postów: 65
2013-10-26 16:44:22

Sprawdzić czy funkcja d:N x N--->R(N oznacza zbior liczb naturalnych) okreslona wzorem :

d(n,m)=|1/n-1/m|

jest metryka w zbiorze N.


tumor
postów: 8070
2013-10-26 22:14:02

Ostatnio zrobiłem sporo zadań z metryk na forum. Tak się zastanawiam, czemu jest problem.
Masz wykład. Mówią ci o trzech warunkach, które funkcja musi spełniać. Odróżniasz balsam od mleczka do ciała, kolczyk od klipsa i czółenka od balerinek. Użyj tych samych narządów do patrzenia i rozpoznawania metryk.

Z trzech warunków dwa są niesamowicie łatwe.
Pierwszy mówi o jedynym przypadku, kiedy metryka parze $(m,n)$ przyporządkowuje $0$. Ten przypadek to $m=n$.
I patrzysz, czy jeśli będziesz mieć $n=m$, to $d(n,m)=0$. Będzie? No będzie, bo $|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|=|\frac{1}{m}-\frac{1}{m}|=|0|=0$.
A teraz zastanawiasz się, czy jest możliwy inny przypadek, tzn $m\neq n$, ale jednocześnie $d(m,n)=0$.
Nie, oczywiście nie jest możliwy, bo jeśli $m\neq n$, to także $\frac{1}{n}\neq \frac{1}{m}$, zatem ich różnica (niezależnie od kolejności odejmowania) będzie niezerowa, zatem i moduł tej różnicy będzie niezerowy. Nie używa się tu żadnej wiedzy wykraczającej poza podstawy wartości bezwzględnej i porównywania ułamków, to znaczy same podstawy licealne.

Drugi warunek też jest dla dzieci. Trzeba ustalić, czy zmiana kolejności argumentów coś zmienia w wartości. Czyli czy $d(m,n)$ jest tym samym co $d(n,m)$ zawsze, czy może jest choć jeden wyjątek od reguły.
Ale jest zawsze. Bo liczby
$\frac{1}{n}-\frac{1}{m}$ i $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$ są przeciwne, czyli mają tę samą wartość bezwzględną. Liczby przeciwne. Gimnazjum.

Trzeci warunek jest zazwyczaj łatwy, choć są metryki, w których sprawdzenie go jest bardziej uciążliwe. Wyobraź sobie najkrótszą trasę między dwoma punktami. Jest dla ciebie jasne, że jeśli wymagać będziesz, by między tymi punktami odwiedzić jeszcze trzeci, to albo trasy nie zmienisz (gdy ten punkt już na niej leżał przypadkiem), albo ją wydłużysz. I tego się wymaga od metryki - by dodanie punktu pośredniego zostawiało odległość bez zmian lub zwiększało, ale nie zmniejszało jej.
Czyli
$d(m,n)\le d(m,k)+d(k,n)$
W tym przypadku należy sprawdzić, czy
$|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}| \le |\frac{1}{m}-\frac{1}{k}|+|\frac{1}{k}-\frac{1}{n}|$
Ale znów odwołamy się do wiedzy licealnej o wartości bezwzględnej. Mamy $|a+b|\le |a|+|b|$ dla każdych $a,b\in R$.
czyli podstawiając $a=\frac{1}{m}-\frac{1}{k}$
$b=\frac{1}{k}-\frac{1}{n}$
dostajemy właśnie tę nierówność, o którą nas proszono.

I o co chodzi? Dlaczego to jest problem?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj