Algebra, zadanie nr 1619

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
glebocky postów: 4	2013-10-27 11:54:47 Witam serdecznie. Mam mały problem co do dwóch zadań. Nie potrafię wpaść na pomysł rozwiązania ich. Proszę o naprowadzenie mnie na prawidłowy tok myślenia Zadanie 1. Podaną liczbę zespoloną zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej. $z= \frac{1}{2} \left( \sin \frac{1}{2} + j \cdot \cos \frac{1}{2} \right)$ Zadanie 2. Rozwiązać podane równanie: $\cos x+j \cdot \sin x= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot j$ jeżeli $A) x \in R$ $B) x \in C$

tumor postów: 8070	2013-10-27 12:53:51 a co to za $j$? jednostkę urojoną oznaczamy raczej $i$ Mamy $z=\|z\|(cos\phi + i sin\phi)$, gdzie $\phi =arg(z)$ Tu możemy przyjąć, że $\|z\|=\frac{1}{2}$ Natomiast jeszcze chcemy, żeby $cos\phi = sin\frac{1}{2}$ oraz $sin\phi = cos\frac{1}{2}$, zatem $\phi=\frac{pi}{2}-\frac{1}{2}$ Dostajemy sensowną postać trygonometryczną. Algebraicznej nie wyrazi się ładnie, a wykładnicza będzie prosta z trygonometrycznej.

glebocky postów: 4	2013-10-27 13:06:19 Mój wykładowca używa j, a nie i. Tak właśnie próbowałem robić, ale przeraziłem się tym kątem. Wpadłem na jeszcze inny pomysł ze wzorami Eulera. $z= \frac{1}{2} \left( \sin \frac{1}{2} + j \cdot \cos \frac{1}{2} \right)= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{e^{ \frac{j}{2} } - e^{ -\frac{j}{2} }}{2j} + j \cdot \frac{ e^{ \frac{j}{2} }+ e^{ -\frac{j}{2} } }{2} \right)$ co po sprowadzeniu w nawiasie do wspólnego mianownika i redukcji wyrazów dało mi odpowiedź końcową: $- \frac{1}{2j} \cdot e^{- \frac{j}{2} }$ jest to postać wykładnicza liczby zespolonej, z tym, że: $\left\| z\right\| = - \frac{1}{2j}= \frac{ j^{2} }{2j} = \frac{j}{2}$ więc: postać algebraiczna jest taka sama jak podana w zadaniu postać trygonometryczna: $z= \frac{j}{2} \cdot \left( \cos \left( -\frac{1}{2} \right) + j \cdot \sin \left( - \frac{1}{2} \right) \right)$ postać wykładnicza: $z= \frac{j}{2} \cdot e^{ j \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) }$

glebocky postów: 4	2013-10-27 14:08:10 Link Czyli jednak dobrze zrobiłem :) w polu Alternate forms mam 3 postacie tej liczby zespolonej. Pozostaje jeszcze zadanie 2....

tumor postów: 8070	2013-10-27 14:52:05 Jeśli nie zrobiłeś błędu, to przekształcenia są dobre. Natomiast: a) postać wykładnicza NIE wygląda tak, jak piszesz, bo $\|z\|$ NIE jest liczbą zespoloną, a rzeczywistą. Zatem przekształciłeś liczbę zespoloną do innej postaci, ale nie wykładniczej. Skoro zrobiłeś to poprawnie (to znaczy - bezbłędnie), pozostaje dokończyć. Możesz $\frac{i}{2}$ (ja, wybacz, nie przyjmę zapisu z j) zapisać także w postaci wykładniczej (to liczba zespolona, czyli ma tę postać) i przemnożyć przez to, co tam za nią stoi :P b) postać trygonometryczna NIE wygląda tak, jak piszesz, argumentacja jak wyżej. :) c) postać algebraiczna nie jest jak w zadaniu, ale tu najmniej potrzeba. Wystarczy wymnożyć przez $\frac{1}{2}$ Nie sprawdzam, czy poprawnie liczysz, ale skoro strona potwierdza, to poprawnie. Natomiast zwracam uwagę, że chcesz mieć zapis $a+bi$, $c(cos\phi+isin\phi)$, $ce^{i\phi}$ gdzie $a,b,c$ są RZECZYWISTE, ponadto $c$ jest DODATNIA, a $\phi$ to kąt, czyli najlepiej podany z zakresu $[0,2\pi)$, ale od biedy przejdzie tu dowolna liczba rzeczywista. I takich trzech postaci nie podajesz (ani jednej :P).

glebocky postów: 4	2013-10-27 15:00:29 Haha, okej rozumiem gdzie mam błędy :) Czy w miejsce modułu liczby zespolonej co powinienem wstawić? :) A jeśli chodzi o kąt to niestety podany mam taki a nie inny i podejrzewam, że mojemu wykładowcy (człowiek raczej nie jest dokładny, co jest dziwne jak na matematyka..) bardziej chodzi o to, żeby sprawdzić na nas wzory Eulera w tym zadaniu ;) Wiadomość była modyfikowana 2013-10-27 15:01:06 przez glebocky

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj