Topologia, zadanie nr 1625
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| kasia93 postów: 65 |  2013-10-28 14:22:11Niech zbior N bedzie wyposażony w metrykę d(n,m)=|1/-1/m|: a) pokazać , że N jest ograniczony i wyznaczyc diam N, b) znalezć K(2,1/3) i kule zamknieta K(2,1/3) c) pokazac ze kazdy podzbior zbioru N jest jednoczesnie domkniety i otwarty d)wyznaczyc Fr(n nalezy do N : n>badz rowne 3) e)czy N jest przestrzenia spojna? |
| tumor postów: 8070 | 2013-10-28 17:18:41 a) $diam N=sup\{d(m,n): m,n\in N\}=sup\{|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|: m,n\in N\}$. Oczywiście dla $n\in N$ mamy $\frac{1}{n}\le 1$, dla $n=1$ mamy $\frac{1}{n}=1$ oraz dla każdego $\epsilon>0$ istnieje $n\in N$, że $\frac{1}{n}<\epsilon$. Stąd $sup\{|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|: m,n\in N\}=1$ Skoro $diam N<\infty$ to $N$ ograniczony (definicja ograniczoności w p. metrycznych) |
| tumor postów: 8070 | 2013-10-28 21:26:24 b) $K(2,\frac{1}{3})=\{m\in N: |\frac{1}{2}-\frac{1}{m}|<\frac{1}{3}\}$ $\overline{K}(2,\frac{1}{3})=\{m\in N: |\frac{1}{2}-\frac{1}{m}|\le\frac{1}{3}\}$ Zauważmy, że $m=1$ nie spełnia żadnej z nierówności, czyli $m\ge 2$, czyli $|\frac{1}{2}-\frac{1}{m}|$ możemy zastąpić przez $\frac{1}{2}-\frac{1}{m}$. $\frac{1}{2}-\frac{1}{m}<\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}<\frac{1}{m}$ $K(2,\frac{1}{3})=\{2,3,4,5\}$ $\overline{K}(2,\frac{1}{3})=\{2,3,4,5,6\}$ |
| tumor postów: 8070 | 2013-10-28 21:31:38 c) ten sam warunek można wyrazić: "zbiory jednopunktowe są otwarte". Wówczas każdy zbiór jest otwarty, a zatem dopełnienia wszystkich zbiorów są domknięte. Zatem sprawdzamy, że dla każdego $n\in N$ istnieje kula $K(n,r)=\{n\}$ Zatem $r<|\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$. Wystarczy zatem dobrać $r=\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{2}$. Przestrzeń, w której zbiory jednopunktowe są otwarte, nazywamy dyskretną. |
| tumor postów: 8070 | 2013-10-28 21:33:56 e) Przestrzeń dyskretna może być spójna tylko wtedy, gdy składa się z najwyżej jednego punktu. W przeciwnym razie wybieramy dowolny punkt $x$, zbiór $\{x\}$ jest otwarty i dopełnienie tego zbioru też jest otwarte (i jest niepuste), czyli przestrzeń spójna nie jest. d) Fr co znaczy? Brzeg? Wiadomość była modyfikowana 2013-10-28 21:35:41 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj