Logika, zadanie nr 1626

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
zxzania postów: 2	2013-10-28 16:20:00 1.Czy jest to funkcja okresowa? Jaki jest jej okres? a)f(x)=\|sinx\| 2.Czy funkcja ma funkcje odwrotną? Znaleźć tą funkcję i jej naturalną dziedzinę. a)f(x)=cos3x b)f(x)=2^{\frac{x}{2}} 3.Znaleźć założenia f\circ g oraz g\circ f następujących funkcji. a)f(x)=1-x, g(x)=x^{2} b)f(x)=e^{x}, g(x)=lnx

tumor postów: 8070	2013-10-28 16:35:21 1. a) $sinx$ jest okresowy o okresie $2\pi$. $\|sinx\|$ też jest okresowy, a okres może się skrócić. Tu rzeczywiście okres podstawowy skraca się do $\pi$. $sinx=-sin(x+\pi)$ zatem $\|sinx\|=\|sin(x+\pi)\|$ Okres nie może być mniejszy, bo $sinx$ ma miejsca zerowe co $\pi$, tak samo $\|sinx\|$

tumor postów: 8070	2013-10-28 16:40:43 2. W zasadzie każda funkcja ma funkcję odwrotną, czasem tylko trzeba przyciąć dziedzinę. a) $f(x)=cos3x$ $cos3x$ nie jest funkcją różnowartościową w naturalnej dziedzinie R, ale jest różnowartościowy w $[0; \frac{1}{3}\pi]$ i przyjmuje wszystkie wartości z $[-1;1]$. W tym przedziale funkcją odwrotną jest $g(x)=\frac{1}{3}arccos(x)$ dla $x\in [-1;1]$. Można znaleźć inny przedział, w którym $cos3x$ jest różnowartościowy, wtedy funkcja odwrotna będzie odpowiednio odbita i/lub przesunięta.

tumor postów: 8070	2013-10-28 16:43:42 b)$f(x)=2^{\frac{x}{2}}$ naturalną dziedziną jest $R$ i funkcja ta jest różnowartościowa, zatem istnieje odwrotna bez cięcia dziedziny. $y=2^{\frac{x}{2}}$ $lg(y)=\frac{x}{2}$ $2lg(y)=x$ gdzie $lg(y)=log_2y$. Zatem funkcją odwrotną jest $g(x)=2lg(x)$, dla $x>0$

tumor postów: 8070	2013-10-28 16:50:58 3. a)$f(x)=1-x, g(x)=x^{2}$ $(f\circ g)(x)=f(g(x))=1-x^2$ $(g\circ f)(x)=g(f(x))=(1-x)^2$ b)$f(x)=e^{x}, g(x)=lnx$ $(f\circ g)(x)=f(g(x))=e^{lnx}=x$ $(g\circ f)(x)=g(f(x))=ln(e^x)=x$ Uwaga. W zadaniu nikt nie kazał zająć się dziedzinami. Zauważmy, że np w zadaniu b) dziedziną $(f\circ g)(x)$ są tylko liczby dodatnie, natomiast dziedziną $(g\circ f)(x)$ są dowolne liczby rzeczywiste (mimo pewnego podobieństwa między przykładami). Warto przy złożeniach sprawdzić, czy się coś nie kaszani. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj