logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1630

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 493
2013-10-29 13:44:17

wykazać z definicji Cauchy'ego że

$\lim_{n \to \infty}$ $\sqrt[n]{n}$=1


tumor
postów: 8070
2013-10-29 15:46:04

Ustalmy $\epsilon>0$

Pokażemy, że od pewnego n mamy
1) $1-\epsilon\le \sqrt[n]{n} \le 1+\epsilon$


2) $(1-\epsilon)^n \le n \le (1+\epsilon)^n$
3) $\frac{(1-\epsilon)^n}{n} \le 1 \le \frac{(1+\epsilon)^n}{n}$
lewa strona jest oczywista, bo naturalne potęgi liczby mniejszej od $1$ są mniejsze od $1$, a po podzieleniu przez $n$ będzie tym bardziej mniej niż $1$. Po prawej mamy w liczniku funkcję wykładniczą, w mianowniku liniową. Dla $a>1$ mamy $\lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n}=\infty$ (co było zapewne już dowodzone), więc od pewnego $n$ począwszy prawa strona jest większa niż $1$.

Jeśli na wykładzie nie było granicy, o której mówiłem, to proszę się odezwać, przerobimy. (Można też z literatury wziąć)

Przekształcanie $1)\rightarrow 2) \rightarrow 3)$ jest wygodne, natomiast formalnie dowód przebiega w przeciwnym kierunku, od linii ostatniej, która jest pewna (oczywiście pewna począwszy od pewnego, odpowiednio dużego n) do pierwszej.





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj