Analiza matematyczna, zadanie nr 1630
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
pm12 postów: 493 | 2013-10-29 13:44:17 wykazać z definicji Cauchy'ego że $\lim_{n \to \infty}$ $\sqrt[n]{n}$=1 |
tumor postów: 8070 | 2013-10-29 15:46:04 Ustalmy $\epsilon>0$ Pokażemy, że od pewnego n mamy 1) $1-\epsilon\le \sqrt[n]{n} \le 1+\epsilon$ 2) $(1-\epsilon)^n \le n \le (1+\epsilon)^n$ 3) $\frac{(1-\epsilon)^n}{n} \le 1 \le \frac{(1+\epsilon)^n}{n}$ lewa strona jest oczywista, bo naturalne potęgi liczby mniejszej od $1$ są mniejsze od $1$, a po podzieleniu przez $n$ będzie tym bardziej mniej niż $1$. Po prawej mamy w liczniku funkcję wykładniczą, w mianowniku liniową. Dla $a>1$ mamy $\lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n}=\infty$ (co było zapewne już dowodzone), więc od pewnego $n$ począwszy prawa strona jest większa niż $1$. Jeśli na wykładzie nie było granicy, o której mówiłem, to proszę się odezwać, przerobimy. (Można też z literatury wziąć) Przekształcanie $1)\rightarrow 2) \rightarrow 3)$ jest wygodne, natomiast formalnie dowód przebiega w przeciwnym kierunku, od linii ostatniej, która jest pewna (oczywiście pewna począwszy od pewnego, odpowiednio dużego n) do pierwszej. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj