logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Logika, zadanie nr 1634

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

falkapp
postów: 6
2013-10-30 14:37:32

Witam!

Moim zadaniem jest udowodnic za pomoca dowodu nie wprost, ze rownanie:

$63x^{2}=36$ nie ma rozwiazania w zbiorze liczb wymiernych.
Uzylam do tego metody dowodzenia, ze $\sqrt{2}$ nie jest liczba wymierna, jednak nie jestem pewna, czy zrobilam to prawidlowo. Bardzo prosze o sprawdzenie:

Przypuszczenie:$63x^{2}=36$
Dowodzenie: Dowod nie wprost. Przyjmujemy przeciwienstwo przypuszczenia i udowadniamy jego sprzecznosc.
Zalozenie: $63x^{2}=36$ ma rozwiazanie w zbiorze liczb wymiernych.
Przyjmujemy, ze $x=\frac{p}{q};$ (p,q)$\in $N: nwd (najwiekszy wspolny dzielnik)(p,q)=1
, wtedy:
$x^{2}=p^{2}/q^{2}$ $\Rightarrow$ $63p^{2}=36q^{2}$
$p^{2}=\frac{3\cdot3\cdot4}{3\cdot3\cdot7} q^{2}$
Poniewaz $p^{2}$ jest liczba parzysta, mozna ja zapisac jako 2n (gdzie n$\in C$). Mamy wtedy:
$(2n)^{2}= \frac{4}{7}q^{2} \iff 4n^{2}=\frac{4}{7}q^{2} \iff 7n^{2}=q^{2}$

Z tego wynika, ze $q^{2}$ takze jest liczba parzysta, a co za tym idzie, p i q mozna podzielic przez 2. Przyjelismy jednak, ze nwd(p,q)=1, wiec jest to sprzecznosc!
Nasza teza jest falszywa, wiec jej przeciwienstwo musi byc prawda.
Czy to wystarczy jako dowod nie wprost?


tumor
postów: 8070
2013-10-30 15:37:23

Przypuszczenie należy napisać pełnym zdaniem, tzn
$63x^2=36$ nie ma rozwiązań wymiernych (tam chyba pominęłaś komentarz, ale jednak trzeba napisać)

Potem piszesz, że z równania $7n^2=q^2$ WYNIKA, ŻE $q^2$ JEST PARZYSTA. A możesz mi wyjaśnić, dlaczego niby wynika, że jest parzysta? :)

Ja bym zapisał rzecz tak:
$63x^2=36$
Podstawiamy $x=\frac{p}{q}$, gdzie $NWD(p,q)=1$
$63p^2=36q^2$
Dzielimy obie strony przez $9$
$7p^2=4q^2$
Tu prawa strona jest parzysta, bo dzieli się na $4$. Zatem lewa jest parzysta. Skoro $7$ się nie dzieli na $2$, to $p^2$ się dzieli na $2$, czyli $p$ się dzieli na $2$. Zatem rzeczywiście można podstawić $p=2n$

$7(2n)^2=4q^2$
$7*4n^2=4q^2$
i dzielimy przez $4$
$7n^2=q^2$
Do tego miejsca liczyłaś dobrze, ja przekształcałem minimalnie inaczej, natomiast równanie mamy to samo.
Ale teraz nic nie wiemy o parzystości. Wydaje mi się, że przepisałaś dowód dla $\sqrt{2}$ bez zrozumienia go. W tym dowodzie dla $\sqrt{2}$ rzeczywiście korzysta się z podzielności przez $2$. Ale w dzisiejszym zadaniu skorzystamy z podzielności przez $7$.

Mamy
$7n^2=q^2$
Czyli lewa strona jest podzielna przez $7$, prawda?
A skoro strony są równe, to prawa też musi być podzielna przez $7$, czyli możemy zapisać $q=7k$
$7n^2=(7k)^2$
$7n^2=49k^2$ i dzielimy przez $7$
$n^2=7k^2$.
Ale teraz prawa strona jest podzielna przez $7$, więc lewa też musi. Czyli także $n$ jest podzielne przez $7$.
A wiemy, że $p=2n$, czyli jeśli $n$ jest podzielne przez $7$, to i $p$ jest podzielne przez $7$. Także $q$ wyszło nam podzielne przez $7$.

I stąd rzeczywiście sprzeczność, bo zakładaliśmy, że $NWD(p,q)=1$.
A skoro tak, to przypuszczenie jest prawdziwe.

----

Zatem ilość tekstu była wystarczająca na dowód nie wprost, ale było to zrobione bez zrozumienia, więc w pewnym miejscu bez sensu. :) To trzeba rozumieć, a nie po prostu słowa pisać.


----

Dowód musi być przekonujący. Najlepiej, jeśli jednocześnie przekona matematyków i maszynę. Akurat ten zapisany jest nie dość formalnie, by go sprawdzić maszyną, zatem mamy kwestię przekonania ludzi. Czy Ciebie przekonuje ten dowód? A ten z $\sqrt{2}$? Bo jeśli idea dowodu jest dla Ciebie niejasna, to potrzeba tłumaczenia podstaw.

Wiadomość była modyfikowana 2013-10-30 15:39:47 przez tumor

falkapp
postów: 6
2013-10-30 15:57:55

Dziekuje za tak dokladne wytlumaczenie! Szczerze mowiac mialam pewne watpliwosci co do mojego rozwiazania, wydawalo sie wprawdzie w jakims stopniu logiczne, ale mimo to troche naciagniete (zbyt duze "zapozyczenia" z dowodu dla $\sqrt{2}$), dlatego poprosilam o pomoc :)
Po przeczytaniu Twojej odpowiedzi zastanawiam sie, dlaczego sama na to nie wpadlam... Jak zwykle, gdy zabieram sie za dowodzenie :(

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj