logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Logika, zadanie nr 1634

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

falkapp
postów: 6
2013-10-30 14:37:32

Witam!

Moim zadaniem jest udowodnic za pomoca dowodu nie wprost, ze rownanie:

$63x^{2}=36$ nie ma rozwiazania w zbiorze liczb wymiernych.
Uzylam do tego metody dowodzenia, ze $\sqrt{2}$ nie jest liczba wymierna, jednak nie jestem pewna, czy zrobilam to prawidlowo. Bardzo prosze o sprawdzenie:

Przypuszczenie:$63x^{2}=36$
Dowodzenie: Dowod nie wprost. Przyjmujemy przeciwienstwo przypuszczenia i udowadniamy jego sprzecznosc.
Zalozenie: $63x^{2}=36$ ma rozwiazanie w zbiorze liczb wymiernych.
Przyjmujemy, ze $x=\frac{p}{q};$ (p,q)$\in $N: nwd (najwiekszy wspolny dzielnik)(p,q)=1
, wtedy:
$x^{2}=p^{2}/q^{2}$ $\Rightarrow$ $63p^{2}=36q^{2}$
$p^{2}=\frac{3\cdot3\cdot4}{3\cdot3\cdot7} q^{2}$
Poniewaz $p^{2}$ jest liczba parzysta, mozna ja zapisac jako 2n (gdzie n$\in C$). Mamy wtedy:
$(2n)^{2}= \frac{4}{7}q^{2} \iff 4n^{2}=\frac{4}{7}q^{2} \iff 7n^{2}=q^{2}$

Z tego wynika, ze $q^{2}$ takze jest liczba parzysta, a co za tym idzie, p i q mozna podzielic przez 2. Przyjelismy jednak, ze nwd(p,q)=1, wiec jest to sprzecznosc!
Nasza teza jest falszywa, wiec jej przeciwienstwo musi byc prawda.
Czy to wystarczy jako dowod nie wprost?


tumor
postów: 8070
2013-10-30 15:37:23



Wiadomość była modyfikowana 2013-10-30 15:39:47 przez tumor

falkapp
postów: 6
2013-10-30 15:57:55

Dziekuje za tak dokladne wytlumaczenie! Szczerze mowiac mialam pewne watpliwosci co do mojego rozwiazania, wydawalo sie wprawdzie w jakims stopniu logiczne, ale mimo to troche naciagniete (zbyt duze "zapozyczenia" z dowodu dla $\sqrt{2}$), dlatego poprosilam o pomoc :)
Po przeczytaniu Twojej odpowiedzi zastanawiam sie, dlaczego sama na to nie wpadlam... Jak zwykle, gdy zabieram sie za dowodzenie :(

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj