Logika, zadanie nr 1634

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
falkapp postów: 6	2013-10-30 14:37:32 Witam! Moim zadaniem jest udowodnic za pomoca dowodu nie wprost, ze rownanie: $63x^{2}=36$ nie ma rozwiazania w zbiorze liczb wymiernych. Uzylam do tego metody dowodzenia, ze $\sqrt{2}$ nie jest liczba wymierna, jednak nie jestem pewna, czy zrobilam to prawidlowo. Bardzo prosze o sprawdzenie: Przypuszczenie:$63x^{2}=36$ Dowodzenie: Dowod nie wprost. Przyjmujemy przeciwienstwo przypuszczenia i udowadniamy jego sprzecznosc. Zalozenie: $63x^{2}=36$ ma rozwiazanie w zbiorze liczb wymiernych. Przyjmujemy, ze $x=\frac{p}{q};$ (p,q)$\in $N: nwd (najwiekszy wspolny dzielnik)(p,q)=1 , wtedy: $x^{2}=p^{2}/q^{2}$ $\Rightarrow$ $63p^{2}=36q^{2}$ $p^{2}=\frac{3\cdot3\cdot4}{3\cdot3\cdot7} q^{2}$ Poniewaz $p^{2}$ jest liczba parzysta, mozna ja zapisac jako 2n (gdzie n$\in C$). Mamy wtedy: $(2n)^{2}= \frac{4}{7}q^{2} \iff 4n^{2}=\frac{4}{7}q^{2} \iff 7n^{2}=q^{2}$ Z tego wynika, ze $q^{2}$ takze jest liczba parzysta, a co za tym idzie, p i q mozna podzielic przez 2. Przyjelismy jednak, ze nwd(p,q)=1, wiec jest to sprzecznosc! Nasza teza jest falszywa, wiec jej przeciwienstwo musi byc prawda. Czy to wystarczy jako dowod nie wprost?

tumor postów: 8070	2013-10-30 15:37:23 Przypuszczenie należy napisać pełnym zdaniem, tzn $63x^2=36$ nie ma rozwiązań wymiernych (tam chyba pominęłaś komentarz, ale jednak trzeba napisać) Potem piszesz, że z równania $7n^2=q^2$ WYNIKA, ŻE $q^2$ JEST PARZYSTA. A możesz mi wyjaśnić, dlaczego niby wynika, że jest parzysta? :) Ja bym zapisał rzecz tak: $63x^2=36$ Podstawiamy $x=\frac{p}{q}$, gdzie $NWD(p,q)=1$ $63p^2=36q^2$ Dzielimy obie strony przez $9$ $7p^2=4q^2$ Tu prawa strona jest parzysta, bo dzieli się na $4$. Zatem lewa jest parzysta. Skoro $7$ się nie dzieli na $2$, to $p^2$ się dzieli na $2$, czyli $p$ się dzieli na $2$. Zatem rzeczywiście można podstawić $p=2n$ $7(2n)^2=4q^2$ $7*4n^2=4q^2$ i dzielimy przez $4$ $7n^2=q^2$ Do tego miejsca liczyłaś dobrze, ja przekształcałem minimalnie inaczej, natomiast równanie mamy to samo. Ale teraz nic nie wiemy o parzystości. Wydaje mi się, że przepisałaś dowód dla $\sqrt{2}$ bez zrozumienia go. W tym dowodzie dla $\sqrt{2}$ rzeczywiście korzysta się z podzielności przez $2$. Ale w dzisiejszym zadaniu skorzystamy z podzielności przez $7$. Mamy $7n^2=q^2$ Czyli lewa strona jest podzielna przez $7$, prawda? A skoro strony są równe, to prawa też musi być podzielna przez $7$, czyli możemy zapisać $q=7k$ $7n^2=(7k)^2$ $7n^2=49k^2$ i dzielimy przez $7$ $n^2=7k^2$. Ale teraz prawa strona jest podzielna przez $7$, więc lewa też musi. Czyli także $n$ jest podzielne przez $7$. A wiemy, że $p=2n$, czyli jeśli $n$ jest podzielne przez $7$, to i $p$ jest podzielne przez $7$. Także $q$ wyszło nam podzielne przez $7$. I stąd rzeczywiście sprzeczność, bo zakładaliśmy, że $NWD(p,q)=1$. A skoro tak, to przypuszczenie jest prawdziwe. ---- Zatem ilość tekstu była wystarczająca na dowód nie wprost, ale było to zrobione bez zrozumienia, więc w pewnym miejscu bez sensu. :) To trzeba rozumieć, a nie po prostu słowa pisać. ---- Dowód musi być przekonujący. Najlepiej, jeśli jednocześnie przekona matematyków i maszynę. Akurat ten zapisany jest nie dość formalnie, by go sprawdzić maszyną, zatem mamy kwestię przekonania ludzi. Czy Ciebie przekonuje ten dowód? A ten z $\sqrt{2}$? Bo jeśli idea dowodu jest dla Ciebie niejasna, to potrzeba tłumaczenia podstaw. Wiadomość była modyfikowana 2013-10-30 15:39:47 przez tumor

falkapp postów: 6	2013-10-30 15:57:55 Dziekuje za tak dokladne wytlumaczenie! Szczerze mowiac mialam pewne watpliwosci co do mojego rozwiazania, wydawalo sie wprawdzie w jakims stopniu logiczne, ale mimo to troche naciagniete (zbyt duze "zapozyczenia" z dowodu dla $\sqrt{2}$), dlatego poprosilam o pomoc :) Po przeczytaniu Twojej odpowiedzi zastanawiam sie, dlaczego sama na to nie wpadlam... Jak zwykle, gdy zabieram sie za dowodzenie :(

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj