Algebra, zadanie nr 1635
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| kasia93 postów: 65 |  2013-10-30 20:12:18Sformułować i udowodnić cechy podzielnosci liczb N(naturalnych) przez 3,9,11. |
| magda95 postów: 120 | 2013-10-31 11:23:59 Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Dowód: Mamy liczbę postaci n=1000*a+100*b+10*c+d (ilość cyfr nie ma znaczenia). Zapiszmy n w postaci n=999*a+a+99*b+9*c+c+d=999*a+99*b+9*c+a+b+c+d=9(111*a+11*b+1*c)+(a+b+c+d). Wiemy, że 9(111*a+11*b+1*c) jest podzielne przez 3. Zatem jeśli a+b+c+d (suma cyfr) będzie podzielne przez 3, to n też będzie podzielne przez 3. Liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Analogicznie jak w przypadku dowodu podzielności przez 3, gdyż 9(111*c+11*b+1*c) jest podzielne przez 9. Liczba jest podzielna przez 11 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 11. Mamy n=1000*a+100*b+10*c+d=1001*a-1*a+99*b+1*b+11*c-1*c+d=1001*a+99*b+11*c-a+b-c+d=11(91*a+9*b+1*c)-a+b-c*d=11(91*a+9*b+1*c)+(-a+b-c+d). 11(91*a+9*b+1*c) jest podzielne przez 11, zatem n będzie podzielne przez 11, jeśli różnica cyfr na miejscach parzystych i nieparzystych będzie podzielna przez 11. (dla cyfr stojących na miejscach 10^npar, 10^npar ma parzyście wiele cyfr zatem po dodaniu 1 uzyskujemy liczbę postaci 100...001, gdzie ilość 0 jest parzysta; dla cyfr stojących na miejscach 10^par uzyskujemy liczbę 10^par-1, która składa się z parzystej liczby cyfr 9 -> jak łatwo zauważyć obie te liczby są podzielne przez 11, więc możemy wyciągnąć 11 (jako wspólny czynnik) przez nawias. Mam nadzieję że pomogłam  |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj