Analiza matematyczna, zadanie nr 1640

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
lazy2394 postów: 50	2013-11-02 17:04:14 Udowodnij indukcyjnie: a) $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i-1)(2i+1)} = \frac{n}{2n+1}$ b) $\sum_{i=0}^{k} {m \choose i} * {n \choose k-i} = {m+n \choose k}$ Powyzsze poprawilem zamiast pierwszego n ma byc m. Udowodnij że dla każdej liczby naturalnej n i dla każdej liczby pierwszej p : a) $p\|n^{p}-n$ Wiadomość była modyfikowana 2013-11-03 09:28:55 przez lazy2394

mimi postów: 171	2013-11-02 19:58:21 a.) $\sum_{i=1}^{1} \frac{1}{(2i - 1)(2i + 1)} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2\cdot 1 + 1}$ $\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{(2i - 1)(2i + 1)} = \frac{1}{(2(n+1) - 1)(2(n+1) + 1)} + \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i - 1)(2i + 1)} = \frac{n}{2n + 1} + \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{n(2n+3) + 1}{(2n + 1)(2n + 3)} = $ $ = \frac{2n^{2} + 3n + 1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{2n^{2} + 2n + n + 1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{(2n + 1)(n + 1)}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n + 1}{2(n+1) + 1}$

tumor postów: 8070	2014-06-27 12:24:37 3. Dla $p=2$ rzecz jest oczywista, po prawej mamy różnicę dwóch liczb parzystych lub dwóch nieparzystych. W ogólności sobie zrobimy indukcyjnie ze względu na $n$. Ustalmy liczbę pierwszą $p$. Dla n=1 oczywiście $p\|0$. Przypuśćmy, że mamy $p\|n^p-1$ Zauważmy, że $(n+1)^p-(n+1)=\sum_{i=0}^{p}{p \choose i}n^i-n-1$ Przy tym $p\|{p \choose i}$ dla $0<i<p$, no i $p\|n^p-n$, a skoro $\sum_{i=1}^{p-1}{p \choose i}n^i+n^p-n= \sum_{i=1}^{p-1}{p \choose i}n^i+1-1 +n^p-n= \sum_{i=0}^{p}{p \choose i}n^i-n-1=(n+1)^p-(n+1) to p\|(n+1)^p-(n+1)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj