Topologia, zadanie nr 1646

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasia93 postów: 65	2013-11-04 14:53:10 1. Znaleźć punkty skupienia ciągów liczbowych : 1)xn=1/n dla n należących do N 2)xn=n 3)xn=1+(-1)^n gdzie xn jest dowolnym ciągiem zbieżnym w prz. metrycznej (R,d) gdzie d(x,y)=\|x-y\| dla x,y należących do R 2. Wyznaczyć kulę otwarta , domkniętą oraz sferę gdy r>bądź równe 0 w podanych przestrzeniach metrycznych a)(R,d) z metryka euklidesową , lub metryka 0-1 b)(R^2,de) z metryka euklidesowa c)(R^2,dm) z metryką maksimum d)(R^2,dt)z metryka taksowkowa

tumor postów: 8070	2013-11-04 18:46:22 1. 1) punktem skupienia jest tylko $0$, ponieważ dowolne sąsiedztwo punktu $0$ zawiera punkt $\frac{1}{n}$ dla pewnego $n\in N$. Jeśli $x\neq 0$, to tylko skończona ilość wyrazów ciągu $x_n$ należy do kuli $ K(x,\frac{\|x\|}{2})$, biorąc minimum z ich odległości od $x$ znajdziemy sąsiedztwo $x$ bez punktów wspólnych z ciągiem. 2) dla każdego $n\in N$ mamy $(K(n,\frac{1}{2})\backslash n)\cap N = \emptyset$, czyli żaden $n$ nie jest punktem skupienia. Również żaden $x$ nie będący liczbą naturalną nie jest punktem skupienia, wystarczy za sąsiedztwo dać kulę o promieniu równym odległości $x$ do najbliższej liczby naturalnej, z odjętym punktem $x$.

tumor postów: 8070	2014-08-11 23:03:17 3). $x_n\in \{0;2\}$ dla $n\in N$ Zbiór $\{0;2\}$ jest zbiorem punktów skupienia (to znaczy możliwych granic podciągów ciągu $x_n$) 2. Nie wiem, co ma oznaczać $r=0$. W definicji metryki wszak mamy, że $d(x,y)=0 \iff x=y$, zatem kuli otwartej o zerowym promieniu nie ma, z kula domknięta o zerowym promieniu i o środku $x$ jest równa sferze o zerowym promieniu i środku $x$ i równa po prostu zbiorowi zawierającemu jeden punkt $x$. Dlatego rozważam $r>0$ a) dla metryki euklidesowej $K(x,r)=(x-r,x+r)$ $\overline{K}(x,r)=[x-r,x+r]$ $S(x,r)=\{x-r,x+r\}$ dla metryki $0-1$ (dyskretnej) jeśli $r<1$ to $K(x,r)=\{x\}$ $\overline{K}(x,r)=\{x\}$ $S(x,r)=\emptyset$ jeśli $r=1$ to $K(x,r)=\{x\}$ $\overline{K}(x,r)=R$ $S(x,r)=R\backslash \{x\}$ jeśli $r>1$ to $K(x,r)=R$ $\overline{K}(x,r)=R$ $S(x,r)=\emptyset$

tumor postów: 8070	2014-08-11 23:03:30 b) $K(x,r)=\{y: (y_1-x_1)^2+(x_2-y_2)^2<r^2\}$ (geometrycznie rzecz ujmując to na płaszczyźnie koło (bez brzegu) o środku $x$ i promieniu $r$) $\overline{K}(x,r)=\{y: (y_1-x_1)^2+(x_2-y_2)^2\le r^2\}$ (koło z brzegiem) $S(x,r)=\{y: (y_1-x_1)^2+(x_2-y_2)^2=r^2\}$ (okrąg, czyli brzeg koła) c) $K(x,r)=\{y\in R^2: max(\|x_1-y_1\|,\|x_2-y_2\|)<r \}$ (geometrycznie to kwadrat (bez brzegu) wyznaczony przez koniunkcję nierówności $x_1-r<y_1<x_1+r$ $x_2-r<y_2<x_2+r$ ) $\overline{K}(x,r)=\{y\in R^2: max(\|x_1-y_1\|,\|x_2-y_2\|)\le r \}$ (kwadrat $x_1-r\le y_1\le x_1+r$ $x_2-r\le y_2\le x_2+r)$ $S(x,r)= \overline{K}(x,r) \backslash K(x,r)$ (czyli sam brzeg kwadratu)

tumor postów: 8070	2014-08-11 23:03:40 d) $K(x,r)=\{y\in R^2: \|x_1-y_1\|+\|x_2-y_2\|<r \}$ (geometrycznie to kwadrat (bez brzegu) wyznaczony przez koniunkcję nierówności $y_1-x_1+x_2-r<y_2<y_1-x_1+x_2+r$ $-(y_1-x_1)+x_2-r<y_2<-(y_1-x_1)+x_2+r )$ $\overline{K}(x,r)=\{y\in R^2: \|x_1-y_1\|+\|x_2-y_2\|\le r \}$ (kwadrat jak poprzednio, nierówności słabe) $S(x,r)= \overline{K}(x,r) \backslash K(x,r)$ (czyli sam brzeg kwadratu)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj