logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 1650

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

onakamila
postów: 2
2013-11-04 23:28:46

Rozwiązać układ równań sprowadzając macierz układu do postaci zredukowanej

3x-t=7
2x+y-z=3
5x+y-z-t=10
-x+y-z+t=-4


tumor
postów: 8070
2013-11-05 07:52:08

$ \left[\begin{matrix} 3 & 0 & 0 & -1 & 7 \\
2 & 1 & -1 & 0 & 3 \\
5 & 1 & -1 & -1 & 10 \\
-1 & 1 & -1 & 1 & -4 \end{matrix}\right]$

od trzeciego wiersza odejmujemy drugi
od czwartego wiersza odejmujemy drugi

$ \left[\begin{matrix} 3 & 0 & 0 & -1 & 7 \\
2 & 1 & -1 & 0 & 3 \\
3 & 0 & 0 & -1 & 7 \\
-3 &0 & 0 & 1 & -7 \end{matrix}\right]$

zauważamy, że trzeci i czwarty wiersz są takie jak pierwszy (no, czwarty pomnożony przez -1, ale to nic nie zmienia), czyli możemy je zignorować

$ \left[\begin{matrix} 3 & 0 & 0 & -1 & 7 \\
2 & 1 & -1 & 0 & 3 \end{matrix}\right]$

Można teraz zmienić kolejność kolumn (tylko dobrze sobie zapisać, żeby w odpowiedzi nie pomieszać potem zmiennych!), bo tam z wnętrza da się już zrobić macierz zredukowaną mnożąc przez -1.

Możemy też klasycznie. Od pierwszego wiersza odejmujemy drugi.

$ \left[\begin{matrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 4 \\
2 & 1 & -1 & 0 & 3 \end{matrix}\right]$

od drugiego odejmujemy podwojony pierwszy

$ \left[\begin{matrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 4 \\
0 & 3 & -3 & 2 & -5 \end{matrix}\right]$

dzielimy drugi przez 3


$ \left[\begin{matrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 2/3 & -5/3 \end{matrix}\right]$

i dodajemy do pierwszego drugi

$ \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1/3 & 7/3 \\
0 & 1 & -1 & 2/3 & -5/3 \end{matrix}\right]$

(Dla własnych zastosowań wybrałbym drogę, o której wspomniałem, to znaczy skorzystałbym z podmacierzy

$ \left[\begin{matrix} 0 & -1 \\
-1 & 0 \end{matrix}\right]$

która gdzieś na trasie wystąpiła, wtedy miałbym całkowite współczynniki przy parametrach. A tak wyszły ułamkowe, bo inne zmienne będą parametrami)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj