Analiza matematyczna, zadanie nr 1651

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2013-11-05 11:45:18 1. Wykazać $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ = +$\infty$ 2. zbadać ciągłość funkcji f(x)=$\left\{\begin{matrix} \frac{sin x}{x} dla x\neq0\\ 1 dla x=0 \end{matrix}\right.$ 3. Zbadać ciągłość funkcji f(x,y)=$\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} dla (x,y)\neq(0,0)\\ 0 dla (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.$ Wiadomość była modyfikowana 2013-11-05 11:49:15 przez pm12

pm12 postów: 493	2013-11-05 11:51:50 Wiadomość była modyfikowana 2013-11-05 11:58:56 przez pm12

pm12 postów: 493	2013-11-05 11:54:45 Wiadomość była modyfikowana 2013-11-05 11:59:14 przez pm12

tumor postów: 8070	2013-11-05 13:38:24 1. Wszędzie zakładamy, że mianowniki są niezerowe. Nie przypominam założenia, ale jest istotne. Weź dowolny ciąg $(x_n,y_n)$ zbieżny do (0,0) i podziel go na dwa podciągi zależnie od tego, czy $x_n^2> y_n^2$ czy nie. Zauważ, że jeśli $x_n^2>y_n^2, $to mamy $\frac{1}{2x_n^2}\le \frac{1}{x_n^2+y_n^2} \le \frac{1}{x_n^2}$ Z tw. o trzech ciągach ten podciąg ma granicę $+\infty$. Drugi podciąg analogicznie, tylko przechodzimy na $y$. Z def Heinego mamy odpowiedź, bo ciąg był wybrany dowolnie

tumor postów: 8070	2013-11-05 13:40:59 2. Ciągłość dla $x\neq 0$ nie budzi wątpliwości, bo mamy iloraz funkcji ciągłych. Dla $x_0=0$ sprawdzamy, czy $\lim_{x \to 0} f(x)=f(x_0)$ No ale się równa, granica $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1=f(0)$

tumor postów: 8070	2013-11-05 13:45:11 3. Sprawdzać będziemy, czy $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0$ Sytuacja, gdy stopnie wielomianu w liczniku i mianowniku są równe skłania do przypuszczenia, że granica w ogóle nie istnieje. Pomyślmy nad kontrprzykładem, żeby się upewnić. Policz granice $f(x_n,y_n)$dla a) $x_n=y_n=\frac{1}{n}$ b) $x_n=\frac{1}{n^2}$ $y_n=\frac{1}{n}$ i powiedz, co wyszło.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj