logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 1666

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ememensa
postów: 7
2013-11-06 21:47:05

W R$\times$R definiujemy relację R przez:

(x,y)R(x',y') $\iff$ y=y'

Pokazać, że R jest relacją równoważności, wykorzystując pojęcie klasy abstrakcji.


tumor
postów: 8070
2014-08-08 14:44:17

Podział na klasy abstrakcji polega na tym, że każdy element należy do dokładnie jednej klasy abstrakcji, czyli dwie klasy abstrakcji są rozłączne lub równe, ponadto każdy punkt R^2 należy do jakiejś klasy abstrakcji.

Niech dla każdego $(x,y)$ symbol $[(x,y)]$ oznacza zbiór $\{(p,q): (p,q)R(x,y)\}$ czyli
$[(x,y)]=\{(p,q)\in R^2: q=y\}$
Przez $X$ oznaczmy rodzinę wszystkich zbiorów postaci $[(x,y)], (x,y)\in R^2$.
Oczywiście $(x,y)\in [(x,y)]$, tak więc na pewno każdy element płaszczyzny $R^2$ należy do jakiegoś elementu rodziny $X$.

Jeśli dwa elementy $[(x_1,y_1)], [(x_2,y_2)]$ rodziny $X$ nie są rozłączne, to istnieje $(p,q)$ należący do obu tych elementów, czyli $y_1=q$ oraz $y^2=q$, czyli
jeśli $(a,b)\in [(x_1,y_1)]$, to $b=y_1=q=y_2$, czyli $(a,b) \in [(x_2,y_2)]$, analogicznie w drugą stronę. Czyli elementy rodziny $X$ są niepuste, rozłączne. Ponadto sumują się do $R^2$. Zatem $X$ jest podziałem zbioru $R^2$ względem relacji $R$, czyli R jest relacją równoważności.

---

Uwaga 1
Dowodzimy tu niejawnie przechodniości, symetrii i mniej niejawnie zwrotności relacji $R$.

Uwaga 2
Literą $R$ oznaczałem (za poleceniem) relację, natomiast przez $R^2= R\times R$ rozumiem płaszczyznę kartezjańską, zbiór par liczb rzeczywistych. Żeby mi się czasem ktoś nie pomylił.
Relacja $R$ jest zbiorem i można rozważać $R\times R$ w rozumieniu iloczynu kartezjańskiego relacji, co jednakże czyni zadanie nonsensownym. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj