Analiza matematyczna, zadanie nr 1674

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2013-11-09 09:36:30 1. Zbadać ciągłość funkcji f(x)=$\left\{\begin{matrix} x ,dla, x, wymiernych \\ -x ,dla, x , niewymiernych \end{matrix}\right.$ 2. Wykazać z Heinego nieistnienie granicy $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ $\frac{x^{2}-2y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}$ 3. znaleźć granicę $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ $\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}$

tumor postów: 8070	2013-11-09 21:01:15 1. Dość oczywista ciągłość jedynie w $0$. mamy $-\|x\|\le f(x) \le \|x\|$, a granice skrajnych funkcji w $0$ są równe $0$, czyli granica funkcji $f$ w $0$ istnieje i równa jest $0$. Weźmy $x_0\neq 0$. Wtedy w dowolnym otoczeniu punktu $x_0$ znajdują się liczby wymierne i niewymierne większe na moduł od $x_0$. Zatem funkcja w tym otoczeniu przyjmuje wartości większe niż $\|x_0\|$ i mniejsze niż $-\|x_0\|$. Jeśli weźmiemy $\epsilon <\|x_0\|$ to brak ciągłości mamy oczywisty z def. Cauchy'ego.

tumor postów: 8070	2013-11-09 21:03:30 2. To zadanie najwyraźniej chce być rozwiązane przez policzenie pierwszej granicy, w której $x_n=0$, $y_n=\frac{1}{n}$ i drugiej, w której $y_n=0$, $x_n=\frac{1}{n}$. Pokazujemy, że granice są różne. Akurat w przypadku tej funkcji bardzo wiele standardowych kontrprzykładów by zadziałało.

tumor postów: 8070	2013-11-09 21:07:15 3. Podstawić $u=x^2+y^2$ i mieć świadomość, że $u\ge 0$. Potem standardowo usunąć odejmowanie przez mnożenie licznika i mianownika przez to, co w mianowniku, tylko ze znakiem dodawania. Zrobi się z tego granica przedszkolna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj