logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1674

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 493
2013-11-09 09:36:30

1. Zbadać ciągłość funkcji f(x)=$\left\{\begin{matrix} x ,dla, x, wymiernych \\ -x ,dla, x , niewymiernych \end{matrix}\right.$

2. Wykazać z Heinego nieistnienie granicy $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ $\frac{x^{2}-2y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}$

3. znaleźć granicę $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ $\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}$


tumor
postów: 8070
2013-11-09 21:01:15

1. Dość oczywista ciągłość jedynie w $0$.

mamy $-|x|\le f(x) \le |x|$, a granice skrajnych funkcji w $0$ są równe $0$, czyli granica funkcji $f$ w $0$ istnieje i równa jest $0$.

Weźmy $x_0\neq 0$.
Wtedy w dowolnym otoczeniu punktu $x_0$ znajdują się liczby wymierne i niewymierne większe na moduł od $x_0$.
Zatem funkcja w tym otoczeniu przyjmuje wartości większe niż $|x_0|$ i mniejsze niż $-|x_0|$.

Jeśli weźmiemy $\epsilon <|x_0|$ to brak ciągłości mamy oczywisty z def. Cauchy'ego.


tumor
postów: 8070
2013-11-09 21:03:30

2.

To zadanie najwyraźniej chce być rozwiązane przez policzenie pierwszej granicy, w której $x_n=0$, $y_n=\frac{1}{n}$ i drugiej, w której $y_n=0$, $x_n=\frac{1}{n}$.

Pokazujemy, że granice są różne.

Akurat w przypadku tej funkcji bardzo wiele standardowych kontrprzykładów by zadziałało.


tumor
postów: 8070
2013-11-09 21:07:15

3. Podstawić $u=x^2+y^2$ i mieć świadomość, że $u\ge 0$.

Potem standardowo usunąć odejmowanie przez mnożenie licznika i mianownika przez to, co w mianowniku, tylko ze znakiem dodawania. Zrobi się z tego granica przedszkolna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj