Analiza matematyczna, zadanie nr 1677

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2013-11-09 09:51:53 Wykazać z definicji Cauchy'ego : 1. $\lim_{x \to 1}$ $\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ = 0.5 2. $\lim_{x \to 1}$ $\frac{x^{4}-1}{x-1}$ = 4 3. $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ $\frac{sin(x^{3}+y^{3})}{x^{2}+y^{2}}$ = 0

tumor postów: 8070	2013-11-09 11:32:22 1. Pomnożyć licznik i mianownik przez $\sqrt{x}+1$ Pokazać to, co mówi definicja Cauchy'ego, czyli założyć $\epsilon$ i dobrać $\delta$. Obliczenia są na poziomie podstawy maturalnej, więc nie wiem, co tu chcemy robić. 2. Rozpisać licznik ze wzoru skróconego mnożenia i użyć definicji. 3. Przemnożyć licznik i mianownik przez $(x^3+y^3)$ Skorzystać z granicy $\lim_{u \to 0}\frac{sinu}{u}=1$ (a wystarczy nawet ze spostrzeżenia, że $\|sinu\|\le \|u\|$) użyć def. Cauchy'ego dla $\frac{x^3}{x^2+y^2}$ i dla $\frac{y^3}{x^2+y^2}$ ------- Samo użycie definicji Cauchy'ego, gdy przykład nie jest szatańsko piekielnie diabelnie skomplikowany, wygląda zawsze tak samo. Mamy $x_0$ i hipotetyczną granicę daną w zadaniu, oznaczmy ją $g$. Ustalamy $\epsilon>0$. I chcemy znaleźć cały przedział $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, żeby dla wszystkich $x\neq x_0$ z tego przedziału mieć $g-\epsilon \le f(x) \le g+\epsilon$ W przypadku zadania $1$ będziemy mieć $\frac{1}{2}-\epsilon \le \frac{1}{\sqrt{1\pm \delta}+1} \le \frac{1}{2}+\epsilon$ i chodzi tylko o wydostanie $\delta$ z tej nierówności. Czyli odwracamy, dodajemy stronami co trzeba, podnosimy do kwadratu i pokazujemy, że $\delta$ da się ustalić dla dowolnego wcześniejszego $\epsilon$. W każdym zadaniu identycznie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj