logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1677

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 493
2013-11-09 09:51:53

Wykazać z definicji Cauchy'ego :

1. $\lim_{x \to 1}$ $\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ = 0.5

2. $\lim_{x \to 1}$ $\frac{x^{4}-1}{x-1}$ = 4

3. $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ $\frac{sin(x^{3}+y^{3})}{x^{2}+y^{2}}$ = 0


tumor
postów: 8070
2013-11-09 11:32:22

1. Pomnożyć licznik i mianownik przez $\sqrt{x}+1$

Pokazać to, co mówi definicja Cauchy'ego, czyli założyć $\epsilon$ i dobrać $\delta$. Obliczenia są na poziomie podstawy maturalnej, więc nie wiem, co tu chcemy robić.


2. Rozpisać licznik ze wzoru skróconego mnożenia i użyć definicji.

3. Przemnożyć licznik i mianownik przez $(x^3+y^3)$
Skorzystać z granicy $\lim_{u \to 0}\frac{sinu}{u}=1$
(a wystarczy nawet ze spostrzeżenia, że $|sinu|\le |u|$)

użyć def. Cauchy'ego dla $\frac{x^3}{x^2+y^2}$ i dla $\frac{y^3}{x^2+y^2}$


-------


Samo użycie definicji Cauchy'ego, gdy przykład nie jest szatańsko piekielnie diabelnie skomplikowany, wygląda zawsze tak samo.

Mamy $x_0$ i hipotetyczną granicę daną w zadaniu, oznaczmy ją $g$.
Ustalamy $\epsilon>0$.

I chcemy znaleźć cały przedział $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, żeby dla wszystkich $x\neq x_0$ z tego przedziału mieć

$g-\epsilon \le f(x) \le g+\epsilon$

W przypadku zadania $1$ będziemy mieć

$\frac{1}{2}-\epsilon \le \frac{1}{\sqrt{1\pm \delta}+1} \le \frac{1}{2}+\epsilon$

i chodzi tylko o wydostanie $\delta$ z tej nierówności. Czyli odwracamy, dodajemy stronami co trzeba, podnosimy do kwadratu i pokazujemy, że $\delta$ da się ustalić dla dowolnego wcześniejszego $\epsilon$. W każdym zadaniu identycznie.




strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj