Analiza matematyczna, zadanie nr 1680

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2013-11-09 10:08:10 Zbadać ciągłość funkcji : 1. f(x) = {x}sin(x) 2. f(x) = x - {x} 3. f(x) = {x} + {-x} ({x} oznacza część całkowitą liczby x)

tumor postów: 8070	2013-11-09 10:44:01 1. $f(x) = [x]sin(x)$ gdzie $[x]=max(z\in Z: z\le x)$ (tu i wszędzie indziej używać będę funkcji 'podłoga', która jest bardziej jednoznaczna niż całość). Jeśli autor zadania rozumie całość inaczej, trzeba wprowadzić niewielkie modyfikacje. $[x]$ nieciągła w $x_0\in Z$. Dla $x_0=0$ mamy $\lim_{x \to x_0}[x]sin(x)=0=f(x_0)$, czyli w $0$ jest ciągła. Natomiast dla $0 \neq x_0\in Z$ mamy $\lim_{x \to x_0}sinx=a_{x_0}\neq 0$, wówczas $\lim_{x \to x_0-}[x]sin(x)=(x_0-1)a_{x_0}$ $\lim_{x \to x_0+}[x]sin(x)=(x_0)a_{x_0}$ co wyklucza ciągłość w $x_0$. W niecałkowitych $x_0$ ciągła jako iloczyn funkcji ciągłych.

tumor postów: 8070	2013-11-09 10:46:55 2. Niech $x_0 \in Z$. $\lim_{x \to x_0-}f(x)=x_0-(x_0-1)$ $\lim_{x \to x_0+}f(x)=x_0-x_0$ co wyklucza ciągłość w $x_0$. W liczbach niecałkowitych ciągła jako różnica funkcji ciągłych.

tumor postów: 8070	2013-11-09 10:50:49 3. Przy moim rozumieniu funkcji $[x]$ mamy dla $x_0$ całkowitego $f(x_0)=[x_0]+[-x_0]=x_0-x_0=0$ dla $x_0$ niecałkowitego $f(x_0)=[x_0]+[-x_0]=[x_0]-[x_0]-1=-1$ Zatem nieciągła w $x_0$ całkowitych, ciągła w niecałkowitych. -- Niektórzy rozumieją funkcję 'całość' jako 'to co stoi przed przecinkiem', wówczas dostajemy funkcję stałą czyli ciągłą w dziedzinie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj