Teoria liczb, zadanie nr 1692

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
agusiaczarna22 postów: 106	2013-11-11 13:00:33 Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej X. Wykaż, że: $a \in \partial A \Leftrightarrow$ istnieją ciągi $\left\{ x_{n} \right\} \subset A$ oraz $\left\{ y_{n} \right\} \subset X \setminus A$, takie, że $x_{n} \rightarrow a,$ oraz $y_{n} \rightarrow a.$

tumor postów: 8070	2013-11-11 13:16:59 Ja nie wiem, jak definiowaliście brzeg, dlatego przyjmuję $bd(A)=cl A \backslash int A$. gdzie mamy kolejno brzeg, domknięcie i wnętrze zbioru $A$. Powinno się pojawić twierdzonko, że $a\in cl A$, wtw istnieje ciąg $x_n\subset A$ o granicy równej $a$. (Dowodzi się to malejącymi kulami o środku w $a$, gdyby któraś nie zawierała prawie wszystkich wyrazów ciągu, to zawierałaby ich skończenie wiele, czyli dałoby się zmniejszyć promień do $r>0$ tak, że kula zawierałaby jedynie $a$, wówczas $a$ dałoby się oddzielić zbiorem otwartym od zbioru $A$, czyli $a$ nie należałby do domknięcia zbioru $A$). Natomiast brzeg to $bd(A)=cl A \backslash int A=cl A \cap (X \backslash int A)=cl A \cap cl (X \backslash A)$. Skoro $a$ należy do $bd A$, to na podstawie przypomnianego twierdzonka jest granicą pewnego ciągu elementów z $A$, jak również pewnego ciągu elementów z $X \backslash A$ ---- Jeśli twierdzonko się nie pojawiło lub potrzebujesz bardziej szczegółowego jego dowodu (ale pomyśl dobrze, czy potrzebujesz) to wołaj.

agusiaczarna22 postów: 106	2013-11-11 14:31:33 To twierdzenie jednak się nie pojawiło, czy da się to zadanie zrobić inaczej?

tumor postów: 8070	2013-11-11 15:30:23 A tam, marudzisz. :) Weźmy $a\in cl A$. Jeśli istnieje kula o dodatnim promieniu $K(a,r)$ mająca pusty przekrój z $A$, to $a\in K(a,r)\subset int ( X\backslash A)=X \backslash clA$ (ale sprzeczność, bo $a\in clA$). Zatem wszystkie kule o środku $a$ mają niepusty przekrój z $A$. Weźmy więc ciąg kul $K(a,\frac{1}{n})$ dla $n\in N$, da się wybrać ciąg $x_n\in A\cap K(a,\frac{1}{n})$, a wobec malejącego promienia ciąg ten spełnia definicję ciągu zbieżnego do $a$. W drugą stronę. Mamy ciąg $x_n\subset A$ zbieżny do $a$. To znaczy, że dla dowolnego $\epsilon$ mamy $n_0$, że dla $n>n_0$ zachodzi $x_n\in K(a,\epsilon)$. To oznacza, że dla każdej kuli o środku w $a$ i promieniu $\epsilon>0$ należą do niej prawie wszystkie wyrazy ciągu $x_n$. Czyli każda taka kula ma niepusty przekrój z $A$. Czyli $a\notin int (X\backslash A)$. Czyli $a\in X\backslash int (X\backslash A)=cl A$. Dowiedliśmy właśnie, że $a\in clA \iff$ istnieje $x_n\subset A$ taki, że $x_n \rightarrow a$. NIE POLECAM zapominać tej własności, bo jest użyteczna w wielu dowodach i zadaniach. W szczególności wyżej, skoro $a\in bd A=clA\cap cl(X\backslash A)$ dostajemy dzięki tej własności OD RAZU istnienie ciągów $x_n$ i $y_n$ o które pytano w zadaniu (i w drugą stronę).

agusiaczarna22 postów: 106	2013-11-11 15:52:57 Dziękuję :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj