Topologia, zadanie nr 1693

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
agusiaczarna22 postów: 106	2013-11-11 13:11:46 Pomożecie??Mam za zadanie : Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej X. Czy $\partial A = \partial \left( X \setminus A\right) ?$ Czy $int\left( \partial A\right) \neq \emptyset ?$ Czy $\partial \left( intA\right) = \partial A ?$ Czy $\partial\left(\overline{A}\right) = \partial A ?$ Odpowiedzi uzasadnij.

tumor postów: 8070	2013-11-11 13:25:11 1. Tak (wyjaśnienie w zadaniu 1692, da się definicję brzegu przedstawić w postaci symetrycznej dla $A$ i $X\backslash A$) 2.Przykład $A=Q \subset R=X$ z metryką euklidesową Mamy $cl Q = R$, $int Q=\emptyset$, zatem $bdQ=R$, zatem $int(bd Q)=R$ Czyli istnieją zbiory, których brzegi mają niepuste wnętrze. Inny przykład $A=R=X$ z metryką euklidesową $cl R = R$, $int R=R$, $bd R=\emptyset$, $int(bdR)=\emptyset$ Czyli istnieją zbiory, których brzegi mają puste wnętrze.

tumor postów: 8070	2013-11-11 13:42:31 3. Niekoniecznie. Weźmy $A =(1,2)\cup \{3\}$ (W $R$ z metryką euklidesową) Wtedy $3\in bd A$ i $3\notin bd(int A)$ 4. Również niekoniecznie. (Rozumiem $\overline{A}$ jako $clA$, mam nadzieję, że się nie gniewasz za zmianę oznaczeń, wygodniej mi używać oznaczeń nie wymagających TEXa) Weźmy przykład z $Q$ jak wyżej. wtedy $bd(cl Q)=bd R =\emptyset$ $bd Q=R$ (A z czego to wynika? Odwołajmy się do prostszych własności: mamy $bd A=cl A \backslash int A$ zatem $bd(clA)=cl(clA) \backslash int(cl A)$. Oczywiście $cl(clA)=cl A$ Natomiast czy $intA = int(clA)$? I tu powinniśmy zauważyć, że nie, bardzo łatwo o przykład) No i taka uwaga. Trzeba trochę zastanowienia by zobaczyć odpowiedź na postawione pytania. Można popróbować, czy da się udowodnić jakąś odpowiedź (przeczącą lub twierdzącą, nieważne). Jeśli zastanowienie nic nie daje, to szukamy przykładów. Przykłady jakichś pojedynczych punktów, albo jednopunktowych dziur w zbiorach, albo $Q$, albo $R\backslash Q$, są BARDZO TYPOWE. Warto sobie sprawdzić, jak się te zbiory zachowują, bo na tych przykładach najłatwiej pokazać różne ciekawe własności.

agusiaczarna22 postów: 106	2013-11-11 15:52:25 Dziękuję ślicznie:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj