Analiza matematyczna, zadanie nr 1714

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
wowo098 postów: 1	2013-11-16 12:38:07 Proszę o pomoc w rozwiązaniu kilku zadań. 1) $ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n ^{2} }{n+1}\right) ^{n+3}$ 2) $\lim_{n \to \infty } \left( n+1+n \cdot \cos \left( n\right) \right) ^{\frac{1}{2 n+n \cdot \sin \left( n\right) }}$ 3) $ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{4 ^{n} -3 ^{n} }$ 4) $ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{1} + \sqrt{3} } + \frac{1}{ \sqrt{3} + \sqrt{5} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{2 n-1}+ \sqrt{2 n+1} } \right)$ 5) $ \lim_{n \to \infty } \left( 1- \frac{1}{4} \right) \cdot \left( 1- \frac{1}{9}\right) \cdot ... \cdot \left( 1- \frac{1}{n ^{2} } \right)$ W 3) wiem, że należy wykorzystać twierdzenie o 3 ciągach. Na całą resztę zadań nie mam zupełnie pomysłu.

abcdefgh postów: 1255	2013-11-16 17:02:51 1)$ lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n^2}{n+1})^{n+3}$ Korzystamy z $ lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$ $lim_{n\rightarrow \infty}(1-1+\frac{n^2}{n+1})^{n+3}=lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{-n-1}{n+1}+(\frac{n^2}{n+1})^{n+3}=lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{n^2-n-1}{n+1})^{n+3}=$ $lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{\frac{n+1}{n^2-n-1}})^{n+3}=lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{\frac{n+1}{n^2-n-1}})^{(n+3)\frac{n+1}{n+3}} $ $lim_{n\rightarrow \infty} e^{(\frac{n+1}{n^2-n-1})\frac{n+3}{\frac{n+1}{n^2-n-1}}}$ $lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+3}{\frac{n+1}{n^2-n-1}})=lim_{n\rightarrow \infty} [(n+3)*\frac{n^2-n-1}{n+1}]=lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{(n^2-n-1)(n+3)}{n+1})$ z rysunku widać że dąży do $\infty$ $lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{(n^2-n-1)(n+3)}{n+1})=\infty$ Zatem $lim_{n\rightarrow \infty} e^{\infty}=\infty$

abcdefgh postów: 1255	2013-11-16 17:14:02 3 ) $\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{4 ^{n} -3 ^{n} }$ $\sqrt[n]{4 ^{n} -3} \ge \sqrt[n]{4 ^{n} -3 ^{n}} \le \sqrt[n]{4 ^{n} }$ $\sqrt[n]{4 ^{n} -3} \mapsto 4$ $ \sqrt[n]{4 ^{n} } \mapsto 4$ więc $\sqrt[n]{4 ^{n} -3 ^{n}} \mapsto 4$

abcdefgh postów: 1255	2013-11-16 17:56:40 2) $\lim_{n \to \infty } \left( n+1+n \cdot \cos \left( n\right) \right) ^{\frac{1}{2 n+n \cdot \sin \left( n\right) }}$ $\lim_{n \to \infty } (\frac{1}{2n+nsin(n)})=0$ $lim_{n \rightarrow \infty}$ $lim_{n \rightarrow \infty}(n+1+ncos(n))^{0}=1$

tumor postów: 8070	2013-11-19 10:01:15 1. Prościej!!!!! $\lim_{x \to \infty}\left( \frac{n^2}{n+1} \right)^{n+3}$ Jeśli w przykładzie nie ma literówki (np czy nie powinno być $n^2$ w mianowniku?) to rozwiązanie ogranicza się do zauważenia, że dla $n\ge 3$ mamy $2<\frac{n^2}{n+1}$ (co się dowodzi dla dzieci. $n^2\ge 3n \ge 2n+n \ge 2n+3 > 2 (n+1)$ ) A skoro mamy oczywistą granicę $\lim_{x \to \infty}2^{n+3}=\infty$, to tym bardziej każdy ciąg o odpowiednich wyrazach większych ma tę samą granicę w $\infty$.

tumor postów: 8070	2013-11-19 10:10:54 2. $1 \le 1 +n +ncos(n) \le 2n+1 \le 3n$ $\frac{1}{3n} \le \frac{1}{2n+sin(n)} \le \frac{1}{n}$ Z tw. o trzech ciągach $1 \le (1 +n +ncos(n))^\frac{1}{2n+sin(n)} \le (3n)^\frac{1}{n}$ Granica wyrażenia prawego przy $n\to \infty$ jest równa $1$.

tumor postów: 8070	2013-11-19 10:16:47 3. Zastosowanie tw. o trzech ciągach wymaga nierówności w obie strony, a nie $\ge a_n \le$ Poprawnie to na przykład: $\sqrt[n]{4^n-\frac{3}{4}4^n} \le \sqrt[n]{4^n-3^n}\le \sqrt[n]{4^n}$ $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{4^n}=4$ $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{4^n-\frac{3}{4}4^n}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{4}4^n}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{4}}\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{4^n}=14=4$

tumor postów: 8070	2013-11-19 18:42:10 4) Przekształcamy sobie nieco wyrażenia, zauważamy, że to, co liczymy, jest równe $\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{(\sqrt{3}+\sqrt{1})(\sqrt{3}-\sqrt{1})}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+...\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})})$ Tu w nawiasie mianowniki są wszystkie równe 2, więc można wyłączyć je przed nawias, a wtedy w nawiasie się poredukuje prawie wszystko, dostajemy $\frac{1}{2\sqrt{n}}(\sqrt{2n+1}-\sqrt{1})$ o oczywistej granicy $\frac{\sqrt{2}}{2}$

tumor postów: 8070	2013-11-19 18:48:34 5) Tu też zapisujemy rzecz tak, by było lepiej widać. Mamy $(\frac{13}{2^2})(\frac{24}{3^2})(\frac{35}{4^2})(\frac{46}{5^2})...(\frac{(n-2)(n)}{(n-1)^2})(\frac{(n-1)(n+1)}{n^2})$ co po skróceniu wszystkiego, co się tu da skrócić, da $\frac{1}{2}111...1\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}$ o oczywistej granicy $\frac{1}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj