Algebra, zadanie nr 1718

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasia93 postów: 65	2013-11-16 15:45:56 Rozwiązać kongruencje: 1)x^2+x=0(mod2) 2)x^17-x=0(mod17)

tumor postów: 8070	2014-07-03 21:35:04 $x=-x$ (mod 2), czyli możemy rozważać kongruencję $x^2-x=0$(mod 2) W obu podpunktach korzystamy z tego, że dla liczby pierwszej $p$ jest: $x^p=x (mod p)$ Dowód: jeśli $p\|x$ to oczywiste, czyli przypuśćmy, że $\neg p \| x$ Wówczas dla $x=0$ i $x=1$ rzecz jest oczywista, natomiast jeśli jest prawdą dla $x$, to jest także prawdą dla $x+1$, bowiem $(x+1)^p-(x+1)=\sum_{i=0}{p}{p \choose i}x^i-(x+1)= \sum_{i=1}{p-1}{p \choose i}x^i+x^p+1-x-1= \sum_{i=1}{p-1}{p \choose i}x^i+x^p-x$ przy tym współczynniki ${p \choose i}$ są dla $0<i<p$ wszystkie podzielne przez $p$, natomiast wiemy z założenia indukcyjnego, że także $x^p-x$ jest podzielne przez $p$. Czyli wszystkie liczby naturalne (z zerem) są rozwiązaniami kongruencji (obydwu). Liczby całkowite ujemne są rozwiązaniami także, bo $x=-x$ (mod 2), natomiast $x^{17}-x=0(mod17) \iff (-x)^{17}-(-x)=0(mod17) $

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj