Algebra, zadanie nr 1728

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sysuniaa4 postów: 1	2013-11-20 12:26:58 Udowodnić , że jeśli h1,h2 jest dzielnikiem normalnym grupy G to h1 iloczyn h2 jest dzielnikiem normalnym grupy G. Czy prawdziwa jest implikacja odwrotna? Wiadomość była modyfikowana 2013-11-20 12:42:58 przez sysuniaa4

tumor postów: 8070	2014-08-08 15:22:16 Warto jeszcze dodać, którym z równoważnych warunków definiowaliśmy dzielnik normalny grupy. Często dzielnik normalny $H$ grupy $G$ definiuje się warunkiem: $\forall_{a\in G} aHa^{-1}=H$ Jeśli $x\in H_1\cap H_2$, gdy $H_1,H_2$ są dzielnikami normalnymi grupy $G$, to oczywiście $\forall_{a\in G}axa^{-1} \in H_1\cap H_2$ na pewno zatem $\forall_{a\in G}a(H_1\cap H_2)a^{-1}\subset H_1\cap H_2$. Pozostaje pokazać zawieranie w drugą stronę. Przypuśćmy, że istnieje $a\in G$ i $x$ takie, że $x\in (H_1\cap H_2)\backslash a(H_1\cap H_2)a^{-1}$ czyli $axa^{-1}\notin H_1\cap H_2$, przypuśćmy, że $axa^{-1}\notin H_1$, wówczas $H_1$ nie jest dzielnikiem normalnym. Analogicznie $H_2$. --- Implikacja odwrotna prawdziwa nie jest, a dowód jest trywialnie trywialny. Wystarczy grupa, w której dwie dowolne podgrupy (z których co najmniej jedna nie jest normalna) mają część wspólną $\{e\}$. Podgrupa trywialna jest normalna. Część wspólna nie musi być trywialna, by się dało skonstruować kontrprzykład. Weźmy grupy $G_1, G_2, G_3$, w których $H_1$ jest podgrupą (ale nie normalną) $G_1, H_2$ jest podgrupą (nieistotne jaką) $G_2$, a $G_3$ jest jakakolwiek. Wówczas $H_1\times \{e_2\}\times G_3$ oraz $\{e_1\}\times H_2\times G_3$ są podgrupami $G_1\times G_2\times G_3$, ich część wspólna to podgrupa normalna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj