Topologia, zadanie nr 1729

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dzoannam89 postów: 34	2013-11-20 22:34:21 Mam za zadanie podać trzy różne przykłady funkcji nieciągłych i je wszystkie uzasadnić.

tumor postów: 8070	2013-11-20 23:34:44 Gdzie nieciągłych? Wszędzie? W jednym punkcie? Jak definiowaliście ciągłość?

dzoannam89 postów: 34	2013-11-20 23:47:15 f ciągła w punkcie a $\iff \forall otoczenia U f(a) \exists V otoczenia takie, że f(V)=U$ taką mieliśmy definicje i obojętnie jakie funkcje nieciągłe.

tumor postów: 8070	2013-11-21 00:33:44 Weźmy funkcję Dirichleta albo jaką podobną i $R$ z topologią naturalną. $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 \mbox{ dla }x\in Q \\ 0 \mbox{ dla }x\notin Q \end{matrix}\right.$ Jeśli $a$ jest liczbą wymierną, to $f(a)=1$. Weźmy za otoczenie $U$ punktu $f(x)$ kulę o promieniu $\frac{1}{2}$, czyli przedział $(\frac{1}{2},\frac{3}{2}).$ Jednocześnie jednak każde otoczenie $V$ punktu $a$ zawiera liczby niewymierne, funkcja przyporządkowuje im $0\notin U$, zatem nie istnieje otoczenie $V$ takie, by $f(V)\subset U$. ---- Co innego. Najbanalniej byłoby tę funkcję powyżej przemnożyć przez $sinx$ albo $ln(\|x\|+1)$ albo $arctgx$ albo $x$, za każdym razem dostajemy funkcje prawie wszędzie nieciągłe, argumentacja przebiega identycznie. Ale żeby było ciekawiej, to może skomplikujemy. Weźmy sobie funkcję $g(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \mbox{ dla }x=0\\ \frac{1}{x} \mbox{ dla }x\neq 0 \end{matrix}\right.$, w dość oczywisty sposób nieciągłą dla $a=0$. Weźmy jak wyżej za $U$ kulę o środku w $f(a)=0$ i promieniu $\frac{1}{2}$. Jednocześnie każde otoczenie V elementu a zawiera element b, dla którego $f(b)>1, $ czyli $f(b)\notin U$, zatem $f(V)$ nie jest podzbiorem $U$. To 6 przykładów, a nie 2, więc powinno starczyć.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj