Topologia, zadanie nr 1735

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
agusiaczarna22 postów: 106	2013-11-21 21:51:42 Czy mógłby ktoś pomóc mi w dowodzie. Muszę udowodnić, że funkcja jest ciągła jeżeli przeciwobraz zbioru otwartego jest zbiorem otwartym. Oraz, że jeśli jest ciągła to przeciwobraz zbioru domkniętego jest domknięty.

tumor postów: 8070	2013-11-26 16:16:07 Definicja mówi prawdopodobnie, że funkcja $f$ jest ciągła w $x$, jeżeli dla dowolnego otoczenia $V$ punktu $f(x)$ istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ takie, że $f(U)\subset V$. ---- Niech $f:X\to Y$ ciągła w dziedzinie oraz niech $V\subset Y$ otwarty. Niech $A=f^{-1}(V)$. Dla każdego $x\in A$ mamy $f(x)\in V$ i $V$ otwarty, skoro $f$ ciągła, to istnieje otoczenie $U$ punktu $x$, że $f(U)\subset V$, czyli $U\subset A$. Zatem każdy element zbioru $A$ posiada otoczenie zawierające się w $A$, co oznacza właśnie, że $A$ jest otwarty. Czyli przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty. ---- Niech $W\subset Y$ domknięty. Wtedy $V=Y\backslash W$ jest otwarty i $f^{-1}(V)$ jest otwarty. $B=f^{-1}(W)=X\backslash f^{-1}(V)$ jest domknięty.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj