Logika, zadanie nr 1739

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
55555 postów: 60	2013-11-22 18:39:25 1) Czy prawdziwe są zdania: a)$\exists_{a\in}R$ $\forall_{x\in}R$ $x^{2}$ - 2$a^{2}$ = ax b) $\forall_{x\in}R$ $\exists_{a\in}R$ $x^{2}$ + ax - 2a > 0 2) Wyznaczyć zakres zmienności w R i zbiór spełniania następujących funkcji zdaniowych : a) $\exists_{y\in}R$ x+ y $\le$ 1 b) $\forall_{y\in}R$ x + y $\le$ 1 c) $\exists_{x\in}R$ xy = yx d) $\forall_{x\in}R$ xy = yx e) $\exists_{x\in}R$ sinx = y f) $\forall_{x\in}R$ sinx = y Proszę o wytłumaczenie. ........................................................... 3)Zdefiniować: a) alternatywę, koniunkcję i równoważność za pomocą implikacji i negacji, b) koniunkcję, implikację i równoważność za pomocą alternatywy i negacji, c) alternatywę, implikację i równoważność za pomocą koniunkcji i negacji Wiadomość była modyfikowana 2013-11-22 21:14:44 przez 55555

mimi postów: 171	2013-11-22 20:10:06 Zad. 1. a.) $x^{2} - 2a^{2} = ax$ Chcemy sprawdzić, czy to równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie dla każdej liczby rzeczywistej a. $x^{2} - ax - 2a^{2} = 0$ $\Delta = (-a)^{2} - (-8a^{2})$ $\Delta = 9a^{2}$ Dla każdej liczby rzeczywistej a, $a^{2}$ jest nieujemna, liczba nieujemna pomnożona przez 9 zawsze będzie nieujemna, więc mamy nieujemną deltę. Równanie kwadratowe z nieujemną deltą zawsze ma jakiś rzeczywisty pierwiastek, więc to zdanie jest prawdziwe.

mimi postów: 171	2013-11-22 20:20:19 b.) $x^{2} + ax - 2a > 0$ Teraz dla odmiany chcemy sprawdzić, czy dla każdego rzeczywistego x istnieje takie a $a(x - 2) > -x^{2}$ dla $x = 2$ $4 + 2a - 2a > 0$ każda liczba rzeczywista a spełnia tę nierówność dla $x \neq 2$ $a > \frac{x^{2}}{2 - x}$ Weźmy np. liczbę $a = \frac{x^{2}}{2 - x} + 1$ Jest ona rzeczywista i z całą pewnością istnieje, gdy x jest różne od dwóch. Dla x równego dwa odpowiednia liczba również istnieje. Więc to zdanie też jest prawdziwe.

tumor postów: 8070	2013-11-26 11:32:59 1. SPROSTOWANIE Mamy kwantyfikatory w kolejności: ISTNIEJE $a$, że DLA KAŻDEGO $x$ ... Nie pytamy zatem, czy dla każdego $a$ równanie kwadratowe będzie mieć rozwiązanie rzeczywiste (nieujemna delta), ale czy dla jakiegoś $a$ równanie będzie tożsamościowe. Równanie kwadratowe nie może być tożsamościowe (ma 0,1 lub 2 rozwiązania), musiałoby się redukować do liniowego. Jednakże $x^2-2a^2-ax=0$ się do liniowego nie redukuje, przed $x^2$ stoi jedynka. Zdanie jest fałszywe.

tumor postów: 8070	2013-11-26 11:41:12 1. b) SPROSTOWANIE Doszliśmy poprawnie do nierówności $a(x-2)>-x^2$ Poprawnie rozważyliśmy oddzielnie przypadek $x=2$, dla którego nierówność jest spełniona. Natomiast dla $x\neq 2$ NIE WIEMY, czy dzieląc przez (x-2) dzielimy przez liczbę dodatnią czy przez ujemną, zatem NIE WIEMY czy zmieniamy znak nierówności czy nie. Poprawnie będzie podzielić na przypadki. 1) $x>2$ wówczas dzielimy przez liczbę dodatnią i dostajemy $a>\frac{-x^2}{x-2}=\frac{x^2}{2-x}$ i znajdujemy odpowiednie a np z podanego przepisu $a=\frac{x^2}{2-x}+1$ 2) $x<2$ wówczas dzielimy przez liczbę ujemną i dostajemy $a<\frac{-x^2}{x-2}=\frac{x^2}{2-x}$ i znajdujemy odpowiednie a np tak: $a=\frac{x^2}{2-x}-1$

tumor postów: 8070	2013-11-26 11:54:23 3. używamy $\Rightarrow$ i $\neg$ jako implikacji i negacji. 1) alternatywa Ma być fałszem tylko, gdy oba $p,q$ są fałszywe $(p \vee q) \equiv (\neg p \Rightarrow q)$ 2) koniunkcja Korzystamy z prawa de Morgana. Mamy $ \neg (p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$ czyli $p \wedge q \equiv \neg (\neg p \vee \neg q)$ natomiast alternatywę mamy już zdefiniowaną, czyli wstawiamy wcześniejsze po prawej stronie $p \wedge q \equiv \neg (p \Rightarrow \neg q)$ --- No a można jak wyżej na chłopski rozum. Koniunkcja prawdziwa gdy mamy dwie prawdy. Z implikacji i negacji najłatwiej ulepić zdanie, które będzie fałszywe tylko dla $p,q$ prawdziwych, to zdanie to $p\Rightarrow \neg q$, zaprzeczenie tego zdania będzie równoważne koniunkcji $p$ i $q$ --- 3) równoważność. Mamy $(p\equiv q) \equiv (p\Rightarrow q \wedge q \Rightarrow p)$ Używamy tu koniunkcji, którą zdefiniowaliśmy w przykładzie wyżej. Zatem $(p\equiv q) \equiv (\neg((p \Rightarrow q)\Rightarrow \neg (q\Rightarrow p)))$ Wiadomość była modyfikowana 2013-11-26 11:55:16 przez tumor

tumor postów: 8070	2013-11-26 12:00:14 b) używamy $\vee$ i $\neg $ 1) implikacja $(p \Rightarrow q) \equiv (\neg p \vee q)$ 2) koniunkcja $(p \wedge q) \equiv \neg (\neg p \vee \neg q)$ 3) równoważność $(p \equiv q) \equiv (p \Rightarrow q \wedge q \Rightarrow p)$ Używamy funktorów zdefiniowanych wyżej $(p \equiv q) \equiv (\neg (\neg (\neg p \vee q) \vee \neg (\neg q \vee p)))$

tumor postów: 8070	2013-11-26 12:05:22 c) używamy $\wedge$ i $\neg$ 1) alternatywa $(p \vee q) \equiv \neg (\neg p \wedge \neg q)$ 2) implikacja $(p\Rightarrow q) \equiv \neg p \vee q$ $(p\Rightarrow q) \equiv \neg (p \wedge \neg q)$ 3) równoważność $(p \equiv q) \equiv (p \Rightarrow q \wedge q \Rightarrow p)$ $(p \equiv q) \equiv ((\neg (p \wedge \neg q)) \wedge (\neg (q \wedge \neg p)))$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj