Topologia, zadanie nr 1745
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| kasia93 postów: 65 |  2013-11-23 19:53:21Udowodnić ,że metryki: euklidesowa , maksimum oraz taksówkowa są równoważne. |
| tumor postów: 8070 | 2014-08-11 22:23:27 W jakiej przestrzeni? Robię w $R^n$ $d_e(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$ $d_m(x,y)=max(|x_i-y_i|:i\in \{1,2,...,n\})$ $d_t(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_1|$ Trzeba pokazać, że zbiór otwarty w jednej z metryk jest otwarty w innej. Rozważać w tym celu będę kule, bo każdy zbiór otwarty jest sumą kul otwartych, przy tym rozważać będę tylko środki kul, bo każdy punkt w kuli $K_1$ jest środkiem kuli $K_2$ zawartej w $K_1$. No i jeszcze ograniczę się do kul odpowiednio małych, to znaczy o promieniach mniejszych niż $1$, większe kule są sumami mniejszych kul. Weźmy zatem $K_e(x,r)=\{y: d_e(x,y)<r\}$ jeśli $y\in K_e(x,r)$, to $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}<r$ $\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2<r^2$ $max((x_i-y_i)^2:i\in \{1,2,...,n\})<r^2$ $max(|x_i-y_i|:i\in \{1,2,...,n\})<r$ Czyli $K_e(x,r)\subset K_m(x,r)$ Weźmy $K_m(x,r)=\{y: d_m(x,y)<r\}$ jeśli $y\in K_m(x,r)$, to $max(|x_i-y_i|:i\in \{1,2,...,n\})<r$ $\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|<nr$ Czyli $K_m(x,r)\subset K_t(x,nr)$, lub równoważnie $K_m(x,\frac{r}{n})\subset K_t(x,r)$ Weźmy $K_t(x,r)=\{y: d_t(x,y)<r\}$ jeśli $y\in K_t(x,r)$, to $\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|<r$, wobec wcześniejszej uwagi, że $r<1$, mamy $|x_i-y_i|^2<|x_i-y_i|$, czyli $\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^2<\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|<r$, czyli $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^2}<\sqrt{r}$ czyli $K_t(x,r)\subset K_e(x,\sqrt{r})$, lub równoważnie $K_t(x,r^2)\subset K_e(x,r)$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj