Analiza matematyczna, zadanie nr 1748

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
namita postów: 1	2013-11-24 17:53:24 Jak obliczyć następującą granicę: $\lim_{t \to 1}$($\frac{\pi}{4}$(1-t)tg$\frac{\pi t}{2}$)

mimi postów: 171	2013-11-24 21:37:55 $\lim_{t \to 1} (\frac{\pi}{4} (1-t) \tan \frac{\pi t}{2} = \frac{\pi}{4} \lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{\cot \frac{\pi t}{2}}$ $\lim_{t \to 1} (1 - t) = 0$ $\lim_{t \to 1} \cot \frac{\pi t}{2} = 0$ Możemy więc skorzystać tu z reguły de l'Hospitala $(1 - t)' = -1$ $(\cot \frac{\pi t}{2}) = - \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi t}{2}} \cdot \frac{\pi}{2} = - \frac{\pi}{2 \cos ^{2} \frac{\pi t}{2}}$ $\frac{\pi}{4} \lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{\cot \frac{\pi t}{2}} = \frac{\pi}{4} \lim_{t \to 1} \frac{-1}{- \frac{\pi}{2 \cos ^{2} \frac{\pi t}{2}}} = \frac{\pi}{4} \lim_{t \to 1} \frac{2 \cos ^{2} \frac{\pi t}{2}}{\pi} = \frac{1}{2} lim_{t \to 1} \cos ^{2} \frac{\pi t}{2} = 0$

tumor postów: 8070	2013-11-26 09:54:21 Ja może sprostuję, bo mamy tu błąd w pochodnej cot(t) (czyli ctg(t)) Łatwiej przykład zapisać jako $\lim_{t \to 1}\frac{\pi(1-t)sin(\frac{t\pi}{2})}{4cos(\frac{t\pi}{2})}$ Rzeczywiście spełnia założenia reguły de l'Hospitala, mamy $\lim_{t \to 1}\frac{(\pi(1-t)sin(\frac{t\pi}{2}))`}{(4cos(\frac{t\pi}{2}))`}= \lim_{t \to 1}\frac{\pi(-1)sin(\frac{t\pi}{2})+\pi(1-t)cos(\frac{t\pi}{2})\frac{\pi}{2} }{-4sin(\frac{t\pi}{2})\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj