Analiza matematyczna, zadanie nr 1750

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
filip1994 postów: 2	2013-11-25 23:35:12 Mam problem z kilkoma przykładami z pochodnych, proszę o pomoc i dosyć obszerne wyjaśnienie. f(x)=x^2sinx+2xcosx-2sinx f(x)=(x^2+2x+2)^e^(-x) f(t)=(t^2+1)*logt f(t)=5t^(2)e^(t)ln(t) f(x)=lnx/(x^(5))+1/(5x^(5))

tumor postów: 8070	2013-11-26 08:45:07 $ (sinx)`=cosx$ $(cosx)`=-sinx$ $x`=1$ $(x^n)`=nx^{n-1}$ $(lnx)`=\frac{1}{x}$ $(logx)=\frac{1}{xln10}$ $(e^x)`=e^x$ a) ponadto korzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu (natomiast pochodna sumy/różnicy to po prostu suma/różnica pochodnych) $(fg)`=f`g+fg`$ Zatem $(x^2sinx)`=(x^2)`sinx+x^2(sinx)`=2xsinx+x^2cosx$ $(2xcosx)`=(2x)`cosx+2x(cosx)`=2cosx-2xsinx$ $(-2sinx)`=-2cosx$ Dodajemy wszystko $2xsinx+x^2cosx+2cosx-2xsinx-2cosx=x^2cosx$ Wiadomość była modyfikowana 2013-11-26 09:12:18 przez tumor

tumor postów: 8070	2013-11-26 08:57:06 b) $f(x)=(x^2+2x+2)^{e^{-x}}=e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}$ Tu skorzystamy także ze wzoru na pochodną złożenia $(f(g))`=f`(g)g`$ Zatem $(e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)})`=e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}(e^{-x}ln(x^2+2x+2))`$ znów pochodna iloczynu $e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}(e^{-x}ln(x^2+2x+2))`=e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}[(e^{-x})`ln(x^2+2x+2)+e^{-x}(ln(x^2+2x+2))`]$ i w nawiasach pochodne złożeń $e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}[(e^{-x})`ln(x^2+2x+2)+e^{-x}(ln(x^2+2x+2))`]=e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}[(-e^{-x})ln(x^2+2x+2)+e^{-x}(\frac{1}{x^2+2x+2}*(2x+2))]$

tumor postów: 8070	2013-11-26 09:03:11 c) $f(t)=(t^2+1)logt$ To pochodna iloczynu $((t^2+1)logt)`=(t^2+1)`logt+(t^2+1)(logt)`= 2tlogt+(t^2+1)\frac{1}{tln10}$ Podejrzewam, że problem z robieniem pochodnych polega na tym, że się we wzór gapisz, zamiast go czytać. Na książkę też można się gapić, nie czytając. Nawet wielu to robi. Gdy dostajesz funkcję, patrzysz, jak ją zrobiono. Czy jest ulepiona przez mnożenie, dzielenie, dodawanie, odejmowanie czy składanie innych (PROSTSZYCH!) funkcji. Musisz odkryć te mnożenia/złożenia/etc, a potem tylko zastosować odpowiedni wzór, rozbijając pochodną dużej funkcji na pochodne funkcji prostszych. I tak robisz aż dostaniesz funkcje elementarne, których pochodne na wykładzie liczy się z definicji. ;)

tumor postów: 8070	2013-11-26 09:09:43 d) $f(t)=5t^2e^tln(t)$ (Czy przykład na pewno tak wygląda? Nie był napisany jednoznacznie.) Tu popatrz, na dobrą sprawę masz iloczyn czterech funkcji: $5,t^2,e^t,lnt$ Ale potraktujemy to chwilowo jak iloczyn dwóch funkcji $(t^2e^t)(5lnt)$ Pochodna będzie liczona $((t^2e^t)(5lnt))`=(t^2e^t)`(5lnt)+(t^2e^t)(5lnt)`$ $ (t^2e^t)`=(t^2)`(e^t)+(t^2)(e^t)`=2te^t+t^2e^t$ $(5lnt)`=5`lnt+5(lnt)`=0+\frac{5}{t}$ Ostatecznie mamy $((t^2e^t)(5lnt))`=(2te^t+t^2e^t)(5lnt)+(t^2e^t)*(\frac{5}{t})$

tumor postów: 8070	2013-11-26 09:20:15 e) $ f(x)=lnx/(x^5)+1/(5x^5)=lnxx^{-5}+\frac{1}{5}x^{-5} $ Mamy tu znów iloczyny. Dostaniemy $f`(x)=(lnx)`x^{-5}+lnx(x^{-5})`+\frac{1}{5}(x^{-5})`= \frac{1}{x}x^{-5}+lnx(-5)x^{-6}+\frac{1}{5}(-5)x^{-6}$ ----- W powyższych przykładach nie dokonywałem redukcji, skróceń i uporządkowań wyników, bo po pierwsze mi się nie chciało, po drugie nie piszesz, że masz z tym problem, po trzecie wydłużałoby to tekst, zatem utrudniałoby skupienie się na sednie rozwiązania. ----- Rozwiązania powyższe nie są jedynymi możliwymi. Można używać pochodnej ilorazu, można inaczej przekształcić wyłączając coś przed nawias (na przykład w ostatnim, gdzie dostaniemy pochodną iloczynu $(x^{-5}(lnx+\frac{1}{5}))`$ i po zastosowaniu wzoru na pochodną iloczynu ten sam wynik). Każde dobre rozwiązanie da ten sam wynik, nawet jeśli pójdzie nieco innymi drogami. No i oczywiście literówki gdzieś mogłem zrobić, więc przepisuj myśląc, wtedy je wyłapiesz i mnie poprawisz.

filip1994 postów: 2	2013-11-26 13:42:14 Wielkie dzięki, niesamowicie mi pomogłeś, widzę, że można tu liczyć na fachową pomoc :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj