Algebra, zadanie nr 1753

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
martynka9416 postów: 8	2013-11-26 19:31:12 Kiedy wektory (a,b), (c,d) są bazą R^{2}? Dowód w obie strony.

tumor postów: 8070	2013-11-26 22:39:37 Kiedy są niezależne, to znaczy gdy wyznacznik macierzy $\left[\begin{matrix} a&c \\ b&d \end{matrix}\right]$ jest niezerowy. Dowód przebiega tak. W jedną stronę, jeśli wyznacznik jest niezerowy (to znaczy wektory są niezależne), to układ równań $\left[\begin{matrix} a&c \\ b&d \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} p \\ q \end{matrix}\right]$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli każdy element $R^2$ daje się przedstawić jako kombinacja liniowa zadanych wektorów, co oznacza, że tworzą one bazę. W drugą stronę, jeśli wyznacznik jest zerowy (wektory są zależne), to jeden jest kombinacją drugiego (czyli w praktyce drugim przemnożonym przez stałą). Wówczas CO NAJMNIEJ JEDEN wektor spośród (1,0), (0,1) nie posiada reprezentacji w postaci kombinacji liniowej zadanych wektorów (inaczej mówiąc, odpowiedni układ równań byłby sprzeczny), zatem nie stanowią one bazy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj