Analiza matematyczna, zadanie nr 176

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
seszene postów: 9	2011-10-26 22:21:22 Wyznaczyć granicę: 1.$\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(n-1)^{2}}{n^{3}}$ 2.$\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{3^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(2n-1)^{2}}{n^{3}}$

irena postów: 2636	2011-10-26 22:37:03 $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ Tę powyższą równość można dowieść indukcyjnie $=\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+...+(n-1)^2}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)\cdot2n}{6n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-n^2}{3n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{n}}{3}=\frac{1}{3}$

irena postów: 2636	2011-10-26 22:51:34 2. $1^2+3^2+...+(2n-1)^2=[1^2+2^2+...+(2n)^2]-[2^2+4^2+...+(2n)^2]=$ $=\frac{2n(2n-1)(4n+1)}{6}-4(1^2+2^2+...+n^2)=\frac{2n(2n-1)(2n+1)}{6}-\frac{4n(n+1)(2n+1)}{6}=$ $=\frac{n(2n-1)(4n+1)-2n(n+1)(2n+1)}{3}=\frac{8n^3+2n^2-4n^2-n-4n^3-2n^2-4n^2-2n}{3}=$ $=\frac{4n^3-8n^2-3n}{3}$ $\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+3^2+...+(2n-1)^2}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3-8n^2-3n}{3n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{4-\frac{8}{n}-\frac{3}{n^2}}{3}=\frac{4}{3}$ Sprawdź jeszcze te rachunki, proszę

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj